oblicz pochodną z definicji i.: f(x) = tg² √x f'(x₀) = ?

Godzio:

	tg2√x − tg2√x0
limx→x0		=
	x − x0

	sin√x   sin√x0   ( )2 − ( )2   cos√x   cos√x0
= limx→x0		=
	x − x0

Rozbijamy ze wzoru skróconego mnożenia: a² − b² = (a − b)(a + b) i sprowadzamy do wspólnego mianownika. Zapiszę tylko dla sumy:

sin√x		sin√x0
	+		=
cos√x		cos√x0

sin√xcos√x0 + sin√x0cos√x
	=
cos√xcos√x0

	sin(√x + √x0)
=
	cos√xcos√x0

Różnica wygląda niemalże identycznie:

sin√x		sin√x0		sin(√x − √x0)
	−		=
cos√x		cos√x0		cos√xcos√x0

Otrzymujemy granicę (w mianowniku również korzystam ze wzoru skróconego mnożenia):

	sin(√x + √x0)	sin(√x − √x0)
Licznik:
	cos√xcos√x0	cos√xcos√x0

Mianownik: (√x − √x₀)(√x + √x₀)

	sinx
Skorzystajmy teraz z faktu, że limx→0		= 1 zatem mamy, że:
	x

	sin(√x + √x0)
limx→x0		= 1
	√x − √x0

A w reszcie podstawiamy po prostu x = x₀ i mamy:

sin(2√x0)		2sin√x0cos√x0
	=		=
cos4√x0 * 2√x0		cos4√x0 * 2√x0

	tg√x0
=
	√x0cos2√x0