Część całkowtia zombi: x∊R, n∊N, wykaż, że zachodzi równość:

	1		2		n−1
[x]+[x+		]+[x+		]+...+[x+		]=[nx]
	n		n		n

Potrzebuję jakiejś podpowiedzi. Vax jesteś? Bo ty raczej takie zadanka ogarniasz.

Dominik: zamien lewa strone na sume ciagu arytmetycznego. tylko o dziwo, mi wychodzi, ze rownosc nie zachodzi.

zombi: Ale wiesz o tym, że to antier? tzn. część całkowita liczby? [x]=x−{x} tzn. [6,25]=6 [0,64]=0

Dominik: aj. myslalem, ze zwykly nawias.

Dominik: ale to prawde mowiac wtedy by sie zgadzalo. nie wiem tylko, czy bylby to odpowiedni dowod.

zombi:

	1		2		n−1
To się zgadza tylko btw.		+		+...		to byłoby
	n		n		n

1
	(Sn) gdzie an=n−1
n

dżakPirat: Wskazówki: 1. [x+a] = [x] + [a]

	1
2. [		] = 1 dla n=1 oraz 0 dla n > 1
	n

3. [a*x] = [a] * [x]

Godzio: 1. Dodajmy: a ∊ Z 3. Niestety nie ma takiego wzoru

zombi: Mam zrobione indukcyjnie tak.

	k		k+1
a∊<		;		) gdzie k=0,1,2,3,...,n−1
	n		n

i pokazałem, że zachodzi równość dla wszystkich takie przedziałów, co jest chyba równoznaczne

Bogdan: Nie antier, a entier

zombi: Oj tam francuskie i inne niemieckie

Godzio: Zaproponuję taki dowód: Niech x = k + r, gdzie k to część całkowita, a r to część ułamkowa Wówczas:

	1		n − 1
[x] + [x +		] + ... + [x +		] =
	n		n

	1		n − 1
nk + [r] + [r +		] + ... + [r +		]
	n		n

	p − 1
Od pewnego miejsca 1 ≤ r +		< 2, zatem:
	n

nk + 0 + 0 + ... + 1 + ... + 1 = nk + n − p + 1

	p − 1
r +		= 1 ⇒ nr + p − 1 = n ⇒ nr = n − p + 1
	n

Natomiast [nx] = [nk + nr] = nk + [nr] = nk + [n − p + 1] = nk + n − p + 1

Godzio: Oczywiście gwarancji nie daję, ale wydaje się być poprawny

zombi: jedno pytanko p jest jakie?

Godzio: 0 ≤ p ≤ n, p − naturalne

zombi: To drugie 0 to wzięło się z

	1		n−1
[		+r] prawda? Z tym, że r∊<0,1), więc r ma prawo być ociupińke większe od		, a
	n		n

wtedy

	1
[		+r] zamieni się w 1 a nie w 0. Oczywiście, jeśli to symbolizuje . Na matematyka.pl
	n

koleś podał, że wynik musi wyglądać tak, że obie strony są równe n[x]+k gdzie k=0,1,2,...,n−1. I mi to wyszło z indukcyjnego.

Mila: http://www.ssodelta.edu.pl/klubgim/cz_calkowitawykl.pdf

Godzio: Dlatego zaznaczyłem "Od pewnego miejsca". Nie twierdzę, że drugi wyraz się wyzeruje, bo tego nie wiemy i się nie dowiemy. "0 + 0 + ... + 1 + ... + 1" − to tylko symboliczny zapis, ale wiemy dokładnie, że będzie tego dokładnie n − p + 1.

zombi: No bo ja to widzę tak, że jeśli po lewej stronie mamy n wyrazów to w zależności od 'przedziału'

	n−1
do którego a należy, mamy inną ilość tych jedynek. No bo, gdy np. a=		to otrzymujemy
	n

n−1 jedynek, a u Ciebie jest n−2. Chciałbym właśnie wiedzieć jak to powinno wyglądać tak mega pewnie. Btw. podsyłam linka http://www.matematyka.pl/58436.htm#p5055619 Przykład, o którym mówią wczesniej poszedł gładko bo łatwo było dobra α, żeby podzielić na przypadeczki. A tutaj dowód na ogółnych i kombinowania troche jest

Godzio:

	p − 1
U mnie ilość jedynek jest uzależniona od p, r jest ustalone. Jeżeli suma r +		< 1 to
	n

	p − 1
mamy 0, jeżeli ≥ 1 to mamy 1. Biorę sobie to p, dla którego r +		= 1, i dla każdego
	n

kolejnego wyrazu mamy kolejne jedynki. A skoro miejscem kluczowym było p to tych jedynek jest n − p + 1, i ta ilość zależy od tego miejsca

zombi: Noo, widzę teraz. W zasadzie to widzę podobieństwo, bo jak badałem u mnie jak się zmienia, to też wychodziło, że w zależności o twoje p zmieniała się ilość jedynek, ale ja zrobiłem odwrotnie i robiłem, na zmieniających się przedziałach r i też wychodziły te same zmiany ilości jedynek.

zombi: Btw. przydałby się Vax, bo on te zadania mega ogarnia.

Godzio: Ano On wszystko ogarnia Ja już lecę spać. Dobranoc

zombi: Okej dobranoc. Postaram się coś pokombinować, przeanalizuje na spokojnie twoje rozwiązanie, może coś pyknie jeszcze