Znajdź pierwiastki wielomianu

Znajdź pierwiastki wielomianu kola: Witam, mam wielomian x⁴−.2x³+.x²−2x+1 Nie widzę sposobu rozłożenia na czynniki (przeszkadza mi +1) , nie mogę "na piechotę" znaleźć pierwiastka wielomianu − współczynnik wolny =1, wiodący=1, więc wśród dzielników tych liczb mam tylko 1 lub −1, z których żaden nie jest pierwiastkiem, więc nawet nie mogę zastosować schematu Hornera, czy dzielenia pisemnego. Z wykresu online widzę, że wielomian ma 2 miejsca zerowe i że z pewnością będą to ciekawe liczby. Jak ugryźć to zadanie?

2 lut 19:25

kola: jakaś podpowiedź?

2 lut 19:38

lila: sprawdź, czy dobrze przepisałeś przykład

2 lut 19:41

Dominik: pierwiastki sa naprawde paskudne

2 lut 19:42

Nienor: Istnieje ogólna metoda rozwiązywania równań 4 stopnia, ale jest ona dosyć skomplikowana. http://pl.wikipedia.org/wiki/Równanie_czwartego_stopnia#Redukcja_przypadku_og.C3.B3lnego

2 lut 19:43

kola: przepisane jest dobrze

2 lut 19:45

zombi: No pan Ferrari tutaj pewnie by działał emotka

Ale to raczej dziwne, że taki przykład...

2 lut 19:46

kola: o jezu.. rzeczywiście skomplikowane

2 lut 19:46

Nienor: Acha, a ty jesteś jeszcze w liceum

Bo jak tak, to coś nie tak z tym przykładem, w liceum nie ma wzorów ogólnych na równanie 3 stopnia nawet.

2 lut 19:47

kola: nie, nie jestem już w liceum

2 lut 19:48

zombi: Raczej coś z przykładem jest nie tak

2 lut 19:49

ICSP: x³ − 2x³ + x² − 2x + 1

2 lut 19:59

kola: tak, dokładnie ten wielomian

2 lut 20:01

ICSP: za 10 min będzie

2 lut 20:01

ICSP: tak więc po kolei : mamy rozwiązać równanie : x⁴ − 2x³ + x² − 2x + 1 = 0 w(0) = 1 ≠ 0 ⇒ 0 nie jest pierwiastkiem. Zatem bez zmniejszanie ogólności mogę założyć rozwiązywanie równania dla x ∊R\{0}. Wtedy mogę podzielić przez x²

	2		1
x² − 2x + 1 −		+		= 0
	x		x²

	1		2
x² +		− 2x −		+ 1 = 0
	x²		x

teraz wystarczy zauważyć że :

	1		1
x² +		= (x +		)² − 2
	x²		x

i moje równanie przybiera postać :

	1		1
(x +		)² − 2 − 2(x +		) +1 = 0
	x		x

	1
biorąc t = x +
	x

t² − 2t − 1 = 0 Δ = 8 ⇒ √Δ = 2√2 t = 1 ± √2 wracając do postawienia mamy : 1^o t₁ = 1 − √2

	1
x +		= 1 − √2
	x

x² − (1 − √2)x + 1 = 0 Δ = 1 − 2√2 + 2 − 4 < 0 − brak pierwiastków 2^o t = 1 + √2

	1
x +		= 1 + √2
	x

x² + (1 + √2)x + 1 = 0 Δ = 1 + 2√2 + 2 − 4 = 2√2 − 1 √Δ = √2√2 − 1

	−1 − √2 ± √2√2 − 1
x =
	2

koniec. Pytanie dodatkowe. Określ przedział dla t w którym będą istniały rozwiązania rzeczywiste

2 lut 20:10

zombi: Nice

2 lut 20:12

ICSP: poprawię drugi przypadek : 2^o t = 1 + √2

	1
x +		= 1 + √2
	x

x² − (1 + √2)x + 1 = 0 Δ = 2√2 − 1 √Δ = √2√2−1

	1 + √2 ± √2√2−1
t =
	2

2 lut 20:14

ICSP: x a nie t na samym końcu ...

2 lut 20:14

Nienor: emotka

2 lut 20:15

kola: wow, jesteś wielki. Dziękuję

2 lut 20:15