symbol Newtona Mirek: n Wykazać, że ∑ (ⁿ_k)² = (²ⁿ_n) k=0

Bogdan: Dobry wieczór. Zadań o tej porze jak na lekarstwo. W tym zadaniu trzeba wykazać, że (ⁿ₀)² + (ⁿ₁)² + (ⁿ₂)² + ... + (ⁿ_n)² = (²ⁿ_n). W literaturze można znaleźć uzasadnienie tej tożsamości odwołujące się do równości wielomianów. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− A) Weźmy wielomian W(x) = (1 + x)ⁿ * (x + 1)ⁿ. Interesuje nas współczynnik przy xⁿ. Korzystamy z rozwinięcia dwumianu Newtona. W(x) = (1 + x)ⁿ * (x + 1)ⁿ = = [(ⁿ₀)+(ⁿ₁)x+(ⁿ₂)x²+...+(ⁿ_n)xⁿ]*[(ⁿ₀)xⁿ+(ⁿ₁)xⁿ⁻¹+(ⁿ₂)xⁿ⁻²+...+(ⁿ_n)]= = (ⁿ₀)²xⁿ + ... + (ⁿ₁)²xⁿ + ... + (ⁿ₂)²xⁿ + ... + (ⁿ_n)²xⁿ = = [(ⁿ₀)² + (ⁿ₁)² + (ⁿ₂)² + ... + (ⁿ_n)²]xⁿ + [ ... ] Widzimy, że współczynnik przy xⁿ jest równy: (ⁿ₀)² + (ⁿ₁)² + (ⁿ₂)² + ... + (ⁿ_n)². −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− B) Bierzemy teraz wielomian W(x) = (1 + x)ⁿ * (1 + x)ⁿ = (1 + x)²ⁿ. Korzystamy z rozwinięcia dwumianu Newtona. W(x) = (²ⁿ₀) + (²ⁿ₁)x + (²ⁿ₂)x² + ... + (²ⁿ_n)xⁿ + ... + (²ⁿ_2n)x²ⁿ. Tutaj otrzymaliśmy współczynnik przy xⁿ równy (²ⁿ_n). −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Porównujemy współczynniki przy xⁿ uzyskane w A) oraz w B). (ⁿ₀)² + (ⁿ₁)² + (ⁿ₂)² + ... + (ⁿ_n)² = (²ⁿ_n), co należało wykazać. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Spróbujmy inaczej i może prościej uzasadnić tę tożsamość. Wyobraźmy sobie, że w pojemniku jest 2n kul, w tym n białych i n czarnych. Losujemy bez zwracania n kul. Na ile sposobów można wylosować z pojemnika 0 kul białych lub 1 kulę białą lub 2 kule białe lub 3 kule białe lub ... lub n kul białych (oczywiście, jeśli wylosowano k kul białych to również jednocześnie wylosowano n−k kul czarnych). Zapiszmy opisaną sytuacje w tabelce. KULE BIAŁE KULE CZARNE | RAZEM n n | 2n −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−|−−−−−−−−− 0 n | lub 1 n−1 | lub 2 n−2 | n lub 3 n−3 | lub ........................................ | lub n 0 | Liczba wszystkich zdarzeń sprzyjających w opisanej sytuacji jest równa liczbie wszystkich zdarzeń elementarnych tej sytuacji. (ⁿ₀)*(ⁿ_n)+(ⁿ₁)*(ⁿ_n−1)+(ⁿ₂)*(ⁿ_n−2)+(ⁿ₃)*(ⁿ_n−3)+...+(ⁿ_n)*(ⁿ₀)=(²ⁿ₂) Korzystając z własności: (ⁿ_k) = (ⁿ_n−k) otrzymujemy: (ⁿ₀)² + (ⁿ₁)² + (ⁿ₂)² + ... + (ⁿ_n)² = (²ⁿ_n), co należało wykazać.

AS: Bogdanie! Jesteś super dobry − główkowałem długo nad tym problemem i nic z tego nie wyszło.

sylwia gdańsk: to jest w lo na podstawie moze

Bogdan: Dziękuję Asie za miłe słowa. Sylwio, w zakresie podstawowym takie zadanie raczej się nie znajdzie, ale jego zrozumienie i rozwiązanie nie przekracza możliwości ucznia szkoły średniej.

sylwia gdańsk: pierwszy raz to widze

sylwia gdańsk: a mialam roz

Bogdan: Sylwio, coś mi się nie chce wierzyć, że nie słyszałaś o silni, o symbolu Newtona i o dwumianie Newtona. Przecież wzory skróconego mnożenia: (a + b)², (a + b)³ to nic innego, jak dwumian Newtona (a + b)ⁿ.

	n 0		n 1		n n−2		n n−n
(a + b)n =		anb0 +		an−1b1 +		an−2b2 + ... +		an−nbn

	n k		n!		n*(n−1)*(n−2)*...*(n−k+1)
Symbol Newtona to		=		=
			k! (n − k)!		1*2*...*k

Miś: Witam Bogdanie! Powiedz mi ... czy można to zadanie rozwiązać np; tak: n ∑ (ⁿ_k)² = (²ⁿ_n)² k=0 przyjmując np; że a= b=1 n (a +b)ⁿ = ∑(ⁿ_k)*a^k*b^n−k=(1+1)ⁿ = 2ⁿ k=0 [(a+b)ⁿ]²=(2ⁿ)² podobnie: 2n (a+b)²ⁿ= (1 +1)²ⁿ =∑ (²ⁿ_n)*aⁿ *b²ⁿ⁻ⁿ=(2ⁿ)² zatem: n zachodzi równość

Bogdan: Witaj Misiu. n

	n k
W Twoim zapisie nie widzę ∑		2

k=0

Bogdan: Tu jest suma kwadratów

Miś: Hmmm....... czyli nie może tak być?

Bogdan:

	n k		n k
Czy z faktu, że ∑		= 2n można wywnioskować wynik sumy ∑		2 ?

Przyjmujemy, że granice sumowania są od k=0 do k=n.

Andrzej: Ja ten Misiowy dowód widziałem kiedyś, śliczny jest.

sylwia gdańsk: Bogdan jestem w 2 klasie