Granica ciągu Rafal:

	1
Dany jest ciąg rekurencyjny a1=a an+1=		(an+√an), a>0.
	2

Zbadać zbieżność ciągu w zależności od a i, jeśli jest zbieżny, policzyć jego granicę. Widać, że a_n>0, ponieważ ciąg powstaje przez dodawanie dodatnich składników. Można udowodnić to indukcyjnie. Najpierw sprawdzamy monotoniczność a_n+1−a_n

	1		1		1
an+1−an=		(an+√an)−an=		√an−		an.
	2		2		2

Wprowadzam równanie charakterystyczne a_n=x²

	1		1
−		x2+		x
	2		2

1
	x(1−x) ciąg rosnący dla an∊(0;1) i malejący dla an∊(1;∞).
2

Rozważmy pierwszy przypadek, gdy a_n∊(1;∞) Sprawdźmy, czy ciąg ten jest ograniczony od dołu przez 1 i jak się zachowuje w zależności od a.

1
	(a+√a)>1
2

a+√a>2 równanie charakterystyczne √a=y, y>0 y²+y−2>0 (y−1)(y+2)>0 y∊(1;∞) Widać, że ciąg będzie ograniczony od dołu przez 1 dla a>1. Dla a>1 ciąg będzie także malejący. Czyli jest zbieżny. lim a_n+1=lim a_n=g

	1
g=		(g+√g)
	2

2g=g+√g g²−g=0 g(g−1)=0 g=0 lub g=1 ale ciąg nie może zbliżać się do 0, bo jest ograniczony przez 1. Więc lim a_n=1 Dla 0<a<1 Wyrazy tego ciągu są ograniczone od dołu przez 0, od góry przez 1 i ciąg jest rosnący. Granica lim a_n=1. Dla a=1 ciąg będzie stały, każdy wyraz będzie wynosił 1 i granica będzie równa też 1. Czy to rozwiązanie jest poprawne? Trochę chaotyczne bo na szybko