granica specjalna abc: Prosiłbym o potwierdzenie czy tak można robić:

	(ex)2−cosx
lim przy n→0
	x2

	(ex)2 −1
wynik będzie 1 tak? bo		= 1 Taki jest wzór a cos0 = 1
	x2

LABEL: Nie!

	0
Masz symbol nieoznaczony [		]. Możesz zastosować raz regułę de l'Hospitala,
	0

potem, licz granicę lewostronną i prawostronną.

abc: A mógłbyś mi pokazać jak to zrobić? jestem dość świeży w granicach

Nienor:

	f(x)		f'(x)
lim		=lim		, przy x→x0, x0∊ℛ ∪{−∞,+∞}
	g(x)		g'(x)

o ile pochodne istnieją i o ile istnieje granica z ilorazu tych pochodnych.

Nienor: np:

	ln(x+1)		1x+1		1
lim		=lim		=lim		=+∞, x→0+
	x2		2x		2x(x+1)

Reguł de L'Hopitala stosuje się tylko wtedy gdy masz do czynienia z symbolami nieoznaczonymi.

Adam: A dałbyś może radę rozwiązać to krok po kroku? wtedy to ogarnę bo nie mam nawet jednego przykładu podobnego żeby pokombinować jakoś

LABEL: wg wskazówek Nienor

	e2x−cosx		(e2x−cosx) '
lim{x→0}		=lim{x→0}		=
	x2		(x2)'

	2e2x+sinx)		2
=lim{x→0}		masz symbol [		]
	2x		0

Liczymy granice obustronne

	2e2x+sinx)		2
lim{x→0−}		=[		]=−∞
	2x		0−

	2e2x+sinx)		2
lim{x→0+}		=[		]=∞
	2x		0+

LABEL: wg wskazówek Nienor

	e2x−cosx		(e2x−cosx) '
lim{x→0}		=lim{x→0}		=
	x2		(x2)'

	2e2x+sinx)		2
=lim{x→0}		masz symbol [		]
	2x		0

Liczymy granice obustronne

	2e2x+sinx)		2
lim{x→0−}		=[		]=−∞
	2x		0−

	2e2x+sinx)		2
lim{x→0+}		=[		]=∞
	2x		0+

Nienor: No już masz przykład. Oto jeszcze jeden

	e3x−3x−1
lim		, x⇒0
	sin25x

f'(x)=3e^3x−3 f'(0)=3e⁰−3=0 g'(x)=2sin5xcos5x*5=5sin10x g'(0)=0

	3e3x−3
lim		dalej mamy symbol nieoznaczony, więc powtarzamy procedurę jeszcze
	5sin10x

raz: f"(x)=9e^3x f"(0)=9 g''(x)=5*10*cos10x=50cos10x g"(0)=50

	9e3x		9
lim		=
	50cos10x		50

Czasami, jak widzisz trzeba tę regułę stosować kilka razy. I kolejny limx³e^−x, x→+∞

	x3		3x2		6x		6
lim		=lim		=lim		=lim		=lim6e−x=0
	ex		ex		ex		ex

Podkreślam, że czasami granica nie wychodzi z reguły L'Hospitala (czytaj nie istnieje taka granica z ilorazu pochodznych, ale istnieje granica zilorazu funkcji)

pigor: ... no cóż, piszesz tam n→∞ , czyli to miała być granica ciągu, czyli zakładam , że nie znasz pochodnych , ale znasz granice elementarne, więc może np. tak:

	(e)2−cosn		(en)2−1+1−cosn
limn→∞		= limn→∞		=
	n2		n2

	(en)2−1		1−cosn		1−cosn
= limn→∞		+ limn→∞		= 1+ limn→∞		=
	n2		n2		n2

	2sin2n2		24sin2n2
= 1+ limn→∞		= 1+ limn→∞		=
	n2		n24

	sinn2
= 1+ 12 limn→∞(		)2= 1+12*12= 32 . ...
	n2

Nienor: pigor to n dąży do 0, a dalej w zapisie są same x.