z tw. Darboux roobi: Uzasadnić, że równanie sin(x−π/2)=2^−x ma w przedziale (π/2,π) dokładnie jedno rozwiązanie. Wiem tylko tyle, że rozwiązanie leży gdzieś w środku przedziału, ale w ogóle nie wychodzi mi to zadanie.

Basia: sin(x−π/2) = sinx*cosπ/2 − cosx*sinπ/2 = −cosx masz równanie −cosx = 2^−x 2^−x+cosx = 0 f(x) = 2^−x+cosx f(π/2)*f(π) = (2^−π/2+cosπ/2)*(2^−π+cosπ) = 2^−π/2(2^−π − 1) < 0yli to chyba oczywiste czyli na mocy tw.Darboux ∃_{c∊(−π/2;π)} f(c) = 0 a dlaczego tylko jedno ? policz pochodną f(x) przekonasz się, że w przedziale (π/2;π) ta pochodna jest stale <0 ⇒ w przedziale (π/2;π) funkcja jest stale malejąca czyli wartość 0 może przyjmować raz i tylko raz