ciąg arytmetyczny i geometryczny Magda: Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego i pierwszy wyraz ciągu geometrycznego równa się 8. Drugie wyrazy tych ciągów też są równe. Jakie mogą być te ciągi, jeżeli trzeci wyraz ciągu geometrycznego stanowi 25/16 trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego?

AS: Ciąg arytmetyczny: 8 , 8 + r , 8 + 2*r Ciąg geometryczny: 8 , 8*q , 8*q² Z warunków w zadaniu: 8 + r = 8*q 8*q² = 25/16*(8 + 2*r) Z pierwszego równania: r = 8*q − 8 wstawiam do drugiego 16*8*q² = 25*(8 + 16*q − 16) 16*8*q² = 25*(16*q − 8) 16*8*q² = 25*8*(2*q − 1) |:8 16*q² = 50*q − 25 16*q² − 50*q + 25 = 0 Δ = (−50)² − 4*16*25 = 2500 − 1600 = 900 √Δ = √900 = 30 q1 = (50 − 30)/(2*16) = 20/32 = 5/8 q2 = (50 + 30)/(2*16) = 80/32 = 5/2 r1 = 8*q1 − 8 = 8*5/8 − 8 = 5 − 8 = −3 r2 = 8*q2 − 8 = 8*5/2 − 8 = 20 − 8 = 12 Szukane ciągi: arytmetyczny: 8 , 5 , 2 lub 8 , 20 , 32 geometryczny: 8 , 5 , 25/8 lub 8 , 20 , 50 Warunek pierwszy jest spełniony, widać to z rozpisanych ciągów Warunek 2 a3g = a3ar ⇒ 25/8 = 25/16*2 ⇒ 25/8 = 25/8 50 = 25/16*32 ⇒ 50 = 50

Magda: dziękuję