Proszę o pomoc ... kamcia: Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(1,2), B=(3,1), C=(a,a). a) Wyznacz a<0 takie, aby P trójkąta = 8. b) Czy trójkąt ABC może być równoboczny? c) Czy ten trójkąt może mieć kąt c=30 st.? d) Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta obróconego o 60 st. wokół początku układu. Czy ktoś umie to rozwiązać z pomocą macierzy? Może być też inny sposób.

Janek191: A = ( 1; 2), B = ( 3; 1), C = ( a; a) a) IABI = √(3 − 1)² + (1 − 2)² = √2² + ( −1)² = √4 + 1 = √5 Równanie pr AB : y = a x + b 2 = a +b 1 = 3a + b −−−−−−−−−−−−−−− odejmuję stronami − 1 = 2a a = − 1/2 −−−−−−−−−−−− b = 2 − a = 2 − (− 1/2) = 2 1/2 y = (−1/2) x + 2 1/2 więc 2y = − x + 5 x + 2y − 5 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− A = 1, B = 2, C = − 5 Obliczam wysokość Δ ABC czyli odległość punktu C = (a; a) od prostej AB Mamy I A x₀ + B y₀ + C I h = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √ A² + B² czyli I 1*a + 2*a − 5 I I 3a − 5 I h = −−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−− √ 1² + 2² √5 Pole Δ ABC P = 0,5 * IAB I *h I 3a − 5 I P = 0,5 *√5* −−−−−−−− = I 1,5 a − 2,5 I √5 Ponieważ pole ma być równe 8 , więc I 1,5 a − 2,5 I = 8 1,5 a − 2,5 = − 8 ∨ 1,5 a − 2,5 = 8 1,5 a = − 5,5 ∨ 1,5 a = 10,5 a = − 5,5 : 1,5 = − 11/2 : 3/2 = − 11/3 Odp. a = − 11/3 ============== b) A = ( 1; 2) , B = ( 3; 1) , C = ( a; a) Mamy I AB I = √5 Aby Δ ABC był równoboczny, musi zachodzić I AB I = I BC I = I AC I Obliczmy I BC I i I AC I I BC I = √ ( a − 3)² + (a − 1)² = √a² − 6a + 9 + a² − 2a + 1 = = √2 a² − 8a + 10 I AC I = √ (a − 1)² + (a − 2)² = √ a² −2a + 1 + a² − 4a + 4 = = √ 2 a² − 6a + 5 Jeżeli I BC I = I AC I , to 2 a² − 8a + 10 = 2a² − 6 a + 5 2a = 5 a = 2,5 Wtedy I AC I = √ 2 *2,5² − 6*2,5 + 5 = √ 12,5 − 15 + 5 = √ 2,5 ≠ I AB I zatem Δ ABC nie może być równoboczny. ====================================