Badanie homomrfizmu bardzo pilne ! patka: Witam, jutro mam egzamin a wogóle nie rozumiem homomorfizmów Mam np. takie zadanie: Zbadać czy jest homomorfizmem: T(x,y,z)= (2z−y², 3x−2y+4), T: R³ −> R² zadanie mam rozpisane ale kompletnie nie rozumiem na jakiej zasadzie to się dodaje sprawdza itp, bardzo proszę o pomoc !

Godzio: Jakie warunki spełnia homomorfizm ?

Godzio: Niech: a = (x₁,y₁,z₁) b = (x₂,y₂,z₂) i c ∊ R wówczas muszą byś spełnione dwa warunki: T(a + b) = T(a) + T(b) oraz T(c * a) = c * T(a) Sprawdzając drugi warunek: T(c * a) = T(c * (x₁,y₁,z₁)) = T(cx₁,cy₁,cz₁) = (2cz₁−c²y₁,3cx₁ − 2y₁+4), a to widać że jest różne od c * T(a) (chociażby przez c², albo przez "wolną" 4). Wypada jeszcze podać kontrprzykład: c = 0 T(0 * a) = (0,4) 0 * T(a) = (0,0) ≠ (0,4)

PW: To proste, jeżeli rozumie się definicję homomorfizmu. A. Obraz sumy dwóch elementów musi być równy sumie obrazów. 1. Bierzesz więc dwa dowolne elementy, dodajesz je i szukasz obrazu tej sumy w przekszt. T. 2. Teraz inaczej: szukasz obrazu pierwszego elementu w przekształceniu T, obrazu drugiego elementu w tym samym przekształceniu i dopiero sumujesz. Jeżeli 1. i 2. dały ten sam wynik, to T jest homomorfizmem. Trochę za wcześnie to napisałem, bo jeszcze trzeba sprawdzić B. jak zachowa się obraz iloczynu − czy będzie iloczynem obrazu dla dowolnego elementu (x,y,z) i dowolnej liczby k.

PW: Ja tu się grzebię, a Godzio już rozwiązał