Dziedzina, monotoniczność, granica.. pytajnik: Witam! Byłbym niezmiernie wdzięczny za pomoc z kilkoma zadankami: 1) Wyznaczyć dziedzinę: g(x) = √x²−4 + log_1/2(x+5) 2) Zbadać monotoniczność: a_n= n+1/2n+5 3) Obliczyć: lim (n−>∞)= n√6ⁿ+3ⁿ

pytajnik: W trzecim oczywiście pierwiastek n−tego stopnia. Z góry dzięki za pomoc

Aga1.: 1) x²−4≥0 i x+5>0 rozwiąż 3)Twierdzenie o trzech ciągach ⁿ√6ⁿ ≤ⁿ√6ⁿ+3ⁿ≤ⁿ√2*6ⁿ granicą tego ciągu jest 6. 2) Badaj różnicę a_n+1−a_n=

pytajnik: 1) x≥2, x>−5 Czyli D: x∊ (−5, +∞) ? 2) a_n+1−a_n = 3/4n²+24n+35 <−funkcja rosnąca. To wszystko? 3) Hm, jeśli dobrze liczę wychodzi coś takiego: 6≤9≤12 Co dalej? Czy to już koniec?

PW: 2. Będzie widać bez liczenia, gdy dokonamy przekształcenia:

	n+1
an=
	2n+5

	1	2n+2		1	2n+5−3		1		3
an=			=			=		(1−		)
	2	2n+5		2	2n+5		2		2n+5

	3
Tu bez rachunków widać, że im większa n, tym mniejszy ułamek		, czyli coraz mniej
	2n+5

odejmujemy od jedynki − ciąg jest rosnący. Formalny rachunek jest taki: dla dowolnej naturalnej k k+1>k 2(k+1)+5>2k+5

	1		1
		<
	2(k+1)+5		2k+5

	3		3
−		>−
	2(k+1)+5		2k+5

	3		3
1−		>1−
	2(k+1)+5		2k+5

	1		3		1		3
		(1−		)>		(1−		),
	2		2(k+1)+5)		2		2k+5

czyli a_k+1 > a_k − ciąg jest rosnący

PW: A jakie cuda spowodowały, że a_n+1−a_n= 3/4n²+24n+35 nie mogę zrozumieć (chyba że rozwiązujemy różne zadania).

Aga1.: 1) Dziedzina źle. x²−4≥0⇔x∊(−∞,−2>U<2,∞) ( 0blicz miejsca zerowe i narysuj parabolę ramionami do góry) 3) Obliczasz granicę ciągu z lewej strony i z prawej strony, granice tych ciągów są równe 6 , wtedy granica wyjściowego ciągu jest też równa 6. ⁿ√6ⁿ=6→6, gdy n→∞ ⁿ√2*6ⁿ=ⁿ√2*ⁿ√6ⁿ→1*6=6, gdy n→∞