Zad.7. Dane są cztery okręgi, z których każdy jest zewnętrznie styczny do dwóch janusz: Zad.7. Dane są cztery okręgi, z których każdy jest zewnętrznie styczny do dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Wykaż, że: a) środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, w który można wpisać okrąg. b) punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

AS: Niech promieniami okręgu o środku A będzie r1 , B − r2 , C − r3 , D − r4 Wówczas: AB = r1 + r2 , BC = r2 + r3 , CD = r3 + r4 , AD = r1 + r4 Dalej AB + CD = r1 + r2 + r3 + r4 , BC + AD = r2 + r3 + r1 + r4 Ponieważ AB + CD = BC + AD oznacza to że istnieje okrąg wpisany w czworokąt c.n.d. a,b,c,d oznaczają kąty w odpowiednich trójkątach równoramiennych m,n,p,r − kąty wewnątrz czworokąta łączącego punkty styczności m = 180^o − a − b , n = 180^o − b − c p = 180^o − c − d , r = 180^o − a − d m + p = 180^o − a − b + 180^o − c − d = 360^o − a − b − c − d n + r = 180^o − b − c + 180^o − a − d = 360^o − a − b − c − d Ponieważ m + p = n + r oznacza to że istnieje okrąg opisany na czworokącie c.n.d.