Ciągłość funkcji Rafał: Witam, mam problem z wyznaczeniem a, b dla których funkcja f(x)={e^2x dla x≤1 i ax+b dla x>1} jest ciągła na R. Obliczyłem granicę lewostronną i mam e², w x=1 także jest e², ale jak liczę dla 1⁺ to mam, że a+b=e² i tyle... to już należy traktować jako odpowiedź czy należy jakoś kombinować? Może nie zauważyłem czegoś istotnego co by podpowiadało jaki jest stosunek a do b? Do tego jest podpunkt: dla jakich wartości parametrów a, b funkcja jest różniczkowalna na R. Tutaj wiem, że należy to zrobić za pomocą definicji pochodnej tylko nie bardzo wiem jak... Jest mi ktoś w stanie to jakoś rozjaśnić?

MQ: 1. F. ciągłą masz dla pęku prostych przechodzących przez punkt (1,e²), więc warunek na a+b wystarcza. 2. F. jest różniczkowalna, jeśli pochodna lewostronna i prawostronna w p. (1, e²) będą sobie równe.

Rafał: czyli w zasadzie mamy tak, że jeżeli funkcja jest ciągła to jest też różniczkowalna? jeżeli tak to skąd dwa oddzielne polecenia? Inna sprawa, że jest dopisane "sporządzić starannie rysunki" i nie wiem co mam rysować... funkcję żeby pokazać graficznie ciągłość? przedział x→1⁻ i przedział x→1⁺? no i co oznacza starannie? ma być czytelny czy dokładnie wartości? mam odwzorować stosunek 1 do e²? Wiem że to takie pytania z czapki wzięte, ale jakieś sugestie z doświadczenia może byłyby przydatne

MQ: Nie! Funkcja może być ciągła, a nie musi być różniczkowalna. W p. 1 liczysz tylko warunek na ciągłość w p. x=1 W podpunkcie masz podać dodatkowo warunek na różniczkowalność w p x=1, czyli w tym punkcie ciągła musi być jeszcze pochodna.

Rafał: no tak, odwrotnie jest Czyli jak mam a+b=e² to z tego liczę czy jest pochodna? Nie wiem już sam co mam liczyć.... Jak jest ax+b podstawiam za x 1 i co teraz? porównuje do e²x czyli dla x=1 e² czy liczę pochodną z a+b co da 0, bo to są stałe?

MQ: Pochodna lewej strony: (e^2x)'=2e^2x pochodna prawej strony: (ax+b)'=a pochodna lewej w p x=0 równa się 2e² czyli masz warumek: L=P ⇒ a=2e²

Rafał: Dziękuje, teraz rozumiem o co chodzi Ostatnia kwestia to nie wiem co z tymi rysunkami. Co wypada narysować robiąc to zadanie?

MQ: 1. Narysuj f. e^2x po lewej stronie x=1 2. Narysuj pęk półprostych wychodzących na prawo z końca tego wykresu w p. (1, e²) −− to rozwiązanie 1 części 3. Wyróżnij innym kolorem tę półprostą, która "gładko" przedłuża lewą na prawą (bez załamania), czyli ma a=2e² −− to rozwiązanie 2 części

Rafał: nigdy bym na to nie wpadł, dzięki wielkie