Dwumian Newtona HNO3: 1. Wyznacz siódmy wyraz rozwinięcia (2x −¹₄)¹⁰ 2. Wyznacz wyraz rozwinięcia { x³ + ¹_x)¹5 który zawiera x⁵ 3. Wiadomo, że suma współczynników drugiego i trzeciego wyrazu rozwinięcia dwumianu (x² + ¹_x2)ⁿ (x ≠ 0 ) wynosi 325. Wyznacz siedemnasty wyraz tego rozwinięcia. Rozważ dwa przypadki. Prosiłbym o opisanie krok po kroku jak to robić, bo zależy mi na metodyce. z góry dziękuję.

Basia: Pomagam

Basia:

	10 k		1
(2x−14)10 = ∑k=0,...,10		(2x)10−k*(		)k
			4

siódmy wyraz to k=6 (bo liczymy od 0) czyli

	10 7		1
w7=		(2x)10−7*(		)7 =
			4

10!		1
	(2x)3*		=
7!*3!		47

8*9*10		23x3
	*		=
1*2*3		47

	23x3
4*3*10*		=
	214

	x3
120*		=
	211

	x3
2*2*2*15*		=
	211

23*15*x3
	=
211

15x3
28

Basia:

	15 k
(x3+1x)15 = ∑k=0,1...,15		*(x3)15−k*(1x)k

15 k		15 k		1
	*(x3)15−k*(1x)k=		*x3(15−k)*		=
				xk

15 k		15 k
	x45−3k−k =		x45−4k

45−4k=5 −4k=−40 k=10 czyli wyraz 11 (i tylko 11) będzie zawierał x⁵

Basia:

	1		n k		1
(x2+		)n = ∑k=0,1,...n		*(x2)n−k*(		)k
	x2				x2

w₂ ⇒ k=1 w₃ ⇒ k=2

	n 1		1		n 1		x2n−2
w2 =		*(x2)n−1*		=		*		= n*x2n−4
			(x2)1				x2

	n 2		1		n 2		1
w3 =		(x2}n−2*		=		*x2n−4*		=
			(x2)2				x4

	n 2
		*x2n−8

	n 1
wsp2=		= n

	n 2		n!		(n−1)*n		n2−n
wsp3=		=		=		=
			2!*(n−2)!		2		2

	n2−n
n +		= 325 /*2
	2

2n + n² − n = 650 n² + n − 650 = 0 Δ=1²−4*1*(−650) = 1+2600 = 2601 = 51² √Δ=51 n₁=⁻¹⁻⁵¹₂ = −26 niemożliwe bo n∊ℕ n₂=⁻¹⁺⁵¹₂=25 n=25

	25 17		1
w17 =		*(x2)8*		=
			(x2)17

25 17		x16		25 17
	*		=		*x−18
		x34

i nie widzę tu żadnej możliwości rozważania dwóch przypadków

Andrzej: a w siedemnastym wyrazie to nie będzie k = 16 ? skoro w drugim k = 1 a w trzecim k = 2...

Basia: Będzie oczywiście. Czyli

25 16		1		25 16		x18		25 16
	*x2*9*		=		*		=		*x−14
		x2*16				x32

i dalej ani rusz drugiego przypadku nie widzę

Basia: Dwa przypadki byłyby gdyby równanie

n 1		n 2
	+		= 325

miało dwa rozwiązania. A ono ma jedno. Chyba, że się gdzieś pomyliłam, ale chyba nie.

Andrzej: ten drugi przypadek to może być z przemienności dodawania, tego w nawiasie. Jak zamienisz miejscami składniki to będzie inaczej.

Basia: Masz rację. A ja się uparłam, że mam mieć dwa różne n, nie wiadomo dlaczego. Siła sugestii jest wielka.

Stanisław : W tym pierwszym jest źle powinny być dwa rozwiązania. A poza tym jak wpisałaś k=6 to dlaczego zrobiło się 7?