oblicz granicę ciągu Maciek: Oblicz granicę ciągu: an=n+√n3+73√n2+5−4n To mam , że lim n+√n3+73√n2+5−4n n→∞ Nie mogę sobie poradzić z tymi pierwiastkami. Nie wiem czy to zrobić przez sprzężenie czy wyciąganie przed nawias czy jeszcze inaczej?

sushi_ gg6397228: zastosuj U bo nic nie widac

Maciek: niewyraźnie widać... tam ma być a_n = n+√n³+7 / ³√n²+5−4n przy n→∞

Maciek:

	n+√n3+7
an=
	3√n2+5−4n

nie wiedziałem, że duże U coś zmieni, mój błąd

sushi_ gg6397228: sprzężenie stopnia "3"

Maciek: tak też zrobiłem i o ile w mianowniku mam n²+5+64n³ to w liczniku mam kosmos i nie wiem czy to dalej jakoś rozbijać czy już powstawiać n→∞?

Maciek: aaaa no i pozostaje mi kwestia tego mianownika, że mam n² i n³ których wypada się pozbyć, bo jest nieszczęsny minus (tak, minus... pomyliłem się z tego wszystkiego, bo miało być n²+5−64n³)

sushi_ gg6397228: do granicy zawsze się bierze współczynnik przy najwyższej potędze

Maciek: tylko problem jest taki, że niby wiem który współczynnik wyciągnąć, bo mam

(n+√n3+7)[(3√n2+5)2+8n*3√n2+5+16n2]
	i o ile w mianowniku jest
−64n3+n2+5

łatwo, bo n³ tak w liczniku w pierwszym nawiasie byłoby to n^3/2 a w dwóch pozostałych przypadkach n^2/3 i się zaciąłem

Maciek: tam miało być do 3, nie 3* pierwiastek

sushi_ gg6397228: najlepsza jest metoda "palcowa"−−−> zasłoń "7" i "5" pod pierwiastkami w wyjsciowym przykladzie i policz z tego granicę

sushi_ gg6397228: w tym przykladzie sprzężenie nie jest potrzebne

Maciek: hmm... sprawdzający pracę z takim rozwiązaniem może nie być zadowolony Poza tym pozostaje

	∞+∞
sprawa rozwiązania, bo będzie		i co teraz?
	∞−∞

sushi_ gg6397228: jak mamy dwa wielomiany to jak sie liczy granicę ? zasłoniecie "palcem" jest na razie ( ptoem sie cos wyciagnie przed znak pierwiastka i bedzie tak jak chce prowadzacy)

Maciek: nie rozumiem? wyciąganie przed nawias? o to chodzi? jeżeli tak to właśnie tym sposobem próbowałem ale szło mi jak krew z nosa

Maciek: chyba, że chodzi o rozkład na czynniki ale coś to tutaj da?

sushi_ gg6397228:

	5
(n2+5)= n2 (1+		) −−> to jest wyciaganie
	n2

n+n2
	−−−> jak taka granice liczymy
5n + n5

mietek: Wyciag najwieksza potege pod pierwiastkami, pozniej wyciagnij najwiekszy n z pod pierwiastka, i znowu wyciaganie najwiekszej potegi z licznika i mianownika wynik to "∞".

asdf: chciałbyś

Maciek:

	∞
można przykładowo de L'Hospitalem, bo jest		tylko czy o to chodzi czy ja czegoś nie
	∞

widze/nie rozumiem? L'Hospitala na 90% nie moge zastosować w moim przykładzie, bo mam w mianowniku ∞−∞ i nie ma co pochodnych ciągnąć

Maciek: wynik ∞ to wiem bo na wolframie sprawdzałem, chciałem rozwiązanie zobaczyć ale akurat do tego jest niedostępne... poza tym do wyciąganie mi tam się średnio sprawdza, bo zostają inne potęgi i nie potrafie jednego wspólnego elementu przed całość wyciągnąć

asdf:

	n + n2
granicą		na pewno nie jest ∞, nawet nie ma co sprawdzać na wolframie.
	5n + n5

Maciek:

	n+n2
nie nie, chodzi mi o granicę tego mojego przykładu. Jeżeli chodzi o granicę		to
	5n+n5

ja bym to nie wiem, 3 ciągi raczej zły pomysł to w takim razie "odpuszczenie" sobie tak jak w przypadku zasłaniania palcem tych "enek" bez potęgi, bo one mało zmieniają i wtedy

	n2		1		1
		=n2−5=n−3 co daje nam		czyli przy n→∞		=[0]. Tak?
	n5		n3		∞

pigor: tak, bo mianownik jest wyższego stopnia (.5>2 .. "szybciej" dąży do ∞ ) .

asdf: za takie skracanie byś dostał wpier**

Maciek: chyba mnie olśniło, tylko jak ktoś może to proszę o sprawdzenie i ocenienie czy taki sposób w ogóle nadaje się na egzamin z analizy, bo jak to taka dosyć "nieoficjalna" metoda to może być nieuznane...

	n+n3/2
więc: jeżeli pominę 7 i 5 i zamienie pierwiastki na potęgi mam an=		=
	n2/3−4n

	n3/2   n(1+ )   n		1+n1/2		1+∞
		=		=		=
	n2/3   n( −4)   n		−4+n−1/2		1   −4 ∞

	∞
		= −∞ czyli tyle ile na wolframie ale czy to jest ok?
	−4

Maciek: asdf, licze się z tym, że taki sposób to jak zagryzanie kieliszka krakersem niby powinno coś dać ale nie koniecznie nie wiem, może ja jestem za głupi na to ale jak powinno się to zrobić tak profi żeby się nikt nie doczepił?

Maciek: analizując ten swój przykład dochodzę do wniosku, że tak czy siak 5 i 7 by się "wyzerowały" w

	liczba
granicy, bo by było		a pominięcie ich w liczeniu ułatwia robotę i pomaga
	n2 lub 3

się nie pomylić. Pytanie czy tak można i jak to uzasadnić. Napisać, że liczba ta a ta tu i tu przy n→∞ podniesionym do potęgi jest na tyle małe, że nic nie zmienia w rozwiązaniu więc można ją pominąć[...]? Ma to jakiś sens?

asdf:

	n+n2
limn−>inf		=
	5n + n5

	1		5n
limn−>inf U{n2(1 +		}){n5(1 +		)} =
	n		n5

	1   n2(1 + )   n
limn−>inf		=
	5   n5(1 + )   n4

	1   1 +   n
limn−>inf		=
	5   n3(1 + )   n4

wartości na czerwono dążą do zera, pozostaje:

1
	= 0
inf

Maciek: Myślałem, że w wypowiedzi sushi chodziło o to żeby policzyć granicę inaczej niż przez wyciąganie przed nawias, stąd moje kombinowanie z "wyrzucaniem" mniej znaczących elementów

asdf: oj, przechodzenie częściowe z granicy jest błędem bardzo nie lubianym przez wykładowców − więc się strzesz. Tak samo pisz lim, do puki są jakieś "n". Wiem po własnym przykładzie I teraz zamiast mieć wyższą ocene mam 4,5

Maciek: to jak rozgryźć ten mój przykład? wychodzi mi

	7   n+n3/2√1+   n3
		i nie bardzo wiem co teraz? przeszkadzają
	5   n2/3√1+ −4n   n2

mi te pierwiastki, a gdyby oznaczyć, że granica z liczba przez n = 0 to mam postać jak napisałem wyżej i już do końca ładnie leci

	7		5
tam		i		powinny być pod pierwiastkiem ale nie chcą mi się zmieścić w zapisie
	n3		n2

Maciek: jedyne co mi przychodzi na myśl to "spiąć" pierwiastek z n i tak samo jak zrobiłem wcześniej wrzucać to do mianownika i do końca trzymać, aż nie będę wstawiał za n ∞ dla wyliczenia granicy co wtedy mi zamieni pierwiastek w obu przypadkach krótko mówiąc na "1" i wyjdzie to samo co bez tego, tak? jeżeli mam rację to musi być możliwość opuszczenia tych elementów wcześniej bo nic nie zmieniają a utrudniają zapis

asdf: Kurcze, z chęcią bym Ci pomógł, ale na prawdę mam ogrom pracy − jutro koło 12 napiszę Ci odpowiedź.

Maciek: ok, nie ma sprawy w sumie to teraz sam sobie namieszałem, bo zauważyłem że w rozwiązaniu nie wyciągnąłem największej potęgi w liczniku tylko taką jak w mianowniku co mi ułatwiło skrócenie ale teraz mam już taki ból głowy z tym, że sam nie wiem czy tak można W skrócie, czy można wyciągać przed nawias współczynnik z NIE najwyższą potęgą czy albo z najwyższą albo w ogóle? pewnie głupie pytanie ale już zwariowałem z tą analizą i nie wiem

Artur_z_miasta_Neptuna: Maciek w skrócie jest szereg sytuacji z jakimi możesz się spotkać.

	wielomian
Jeżeli masz sytuację		to ZAWSZE dzielisz przez najwyższa potegę
	wielomian

	coś
mianownika ... w ten sposób uzyskujesz		... i jeżeli okaże się że w liczniku:
	stała

a) wszystko zbiega do 0 to wyrażenie zbiega do 0

	stala
b) jest stała ... to wyrażenie zbiega do
	stała

c) 'n' w jakiejkolwiek potędze >0 ... to zbiega do ∞

asdf: tylko z największą potęgą, ale zauważ co ty zrobileś... n^2/3 < n¹ −4n = −4n¹ Odpocznij sobie

Maciek: chyba tak zrobie... dzięki wielkie za pomoc, nadal nie bardzo wiem jak to ugryźć ale może jak się wyśpie to jakoś mi wyjdzie Jeszcze raz dziękuje

asdf: tak w wielkim skrócie (potraktuj to jako podpowiedź):

n+n3/2
n2/3 − 4n

w mianowniku największa potęga (z wartością od razu) to U{n^3/2}, w liczniku −4n

	n1		n2/3
U{n3/2(		{−4n(1 +		)
	n   1 +   n3/2		−4n

	1		a
U{n}{n3/2 = n1 − 3/2 = n−1/2 =		, czyli		= 0
	√n		∞

teraz kolejne:

n2/3		1		n2/3		1		1
	= −		*		=		* n2/3 − n = n−1/3 =		*
−4n		4		n		4		4

	1
	3√n

no i masz, pozostało:

	−1		1		1
U{n3/2{−4n} =		* n3/2 − n = −		* n1/2 = −		* ∞ = −∞
	4		4		4

przeanalizuj to sobie, ale już jutro! dzisiaj masz tego nie tykać

Maciek: podjąłem ostatnią próbę proszę o sprawdzenie jeżeli ktoś jeszcze o tej porze w ogóle tutaj patrzy, bo być może jestem już w domu ^^ Już po wstępnych wyciąganiach i innych kombinacjach:

n   7   n3/2( +√1+ )   n3/2   n3
	= n1/2
5   n2/33√1+ −4n   n2

	7   n−1/2+√1+   n3
		= √n
	5   n−1/3√1+ −4   n2

	1   7   +√1+ √n   n3		0+√1+0
		= (n→∞) ∞		=
	1   5   +√1+ 3√n   n2		0*√1+0−4

	1
∞*		= −∞
	−4

Tak to ma wyglądać? Swoją drogą zapytam jeszcze o coś odnośnie wpisywania tutaj formułek. Da

	7		5
się jakoś ułamki ( w tym przypadku		i		) pod pierwiastki lepiej zmieścić? Jak
	n3		n2

daje U to wychodzą ponad "daszek" pierwiastka, a jak dam u to nie da się odczytać nic z tego

Maciek: Tak długo mi zajęło przelanie myśli do okna odpowiedzi, że dopiero teraz odczytałem ostatnią wiadomość i jeżeli jeszcze dobrze widzę na oczy to wydaje mi się, że to co napisałem jest dobrze Matko jaka przeprawa... Całe szczęście, że to nie egzamin tylko przygotowanie się do niego bo bym podziękował za rozwiązywanie przez brak pomysłu na ruszenie tego Jeszcze raz ogromne dziękuje za pomoc Dzięki tej pomocy zaczynam widzieć cień szansy dla siebie

asdf:

	∞
powodzenia, to nie jest nic skomplikowanego, symbol [		] − wtedy największa potęga przed
	∞

nawias − i tyle, korzystasz ze wzoru:

a
	= 0; a ∊ R, n→ ∞
n

n
	= +∞, jeżeli a > 0, n → ∞
a

najłatwiejszy przykład, narysuj sobie y = x i widać, że dla każdego kolejnego argumentu (czyli jak przesuwasz palcem w prawo to wartości dążą do góry, to jest właśnie ∞

n
	= −∞, jeżeli a < 0, n → ∞
a

narysuj sobie y = −x teraz bierzesz palucha, przesuwasz go w prawo, a widać, że wartości dążą coraz to niżej i niżej i niżej i...niżej = −∞ Dałem postać y = ±x x − nie wiadoma, czyli n a = ±1

x
	= ±x
±1

Tyle filozofii, jak zwykle zamiast robic to sie rozpisuje, dobranoc