Udowodnij nierówność
gg: Korzystając z nierówności między średnimi wykazać, że dla x∊N, n≥1, zachodzi nierówność:
| 1 | | 1 | | 1 | | 9 | |
| + |
| +...+ |
| ≥ |
| |
| n+1 | | n+2 | | 2011n | | 5 | |
PW: Nierówność między średnią harmoniczną a średnią arytmetyczną dla różnych dodatnich skladników:
lub inaczej
| 1 | | 1 | | 1 | | k | |
| + |
| +...+ |
| > |
| |
| a1 | | a2 | | ak | | a1+a2+...+ak | |
zastosowana do zadanego problemu daje rozwiązanie.
U nas k=2011n−n=2010n,
ciąg w mianowniku po prawej stronie ma 2010n wyrazów i jest ciągiem arytmetycznym, więc jego
suma jest równa
| a1+ak | | n+1+2011n | | 2012n+1 | |
| k= |
| 2010n= |
| , |
| 2 | | 2 | | 2.2010n | |
tak więc prawa strona
| 2.2010n | | 2.2010n | | 2.2010 | | 9 | |
| > |
| = |
| >1,997>1,8= |
| , |
| 2012n+1 | | 2012n+n | | 2013 | | 5 | |
cnu.
