Całka z rozkładem na ułamki proste Krzysiek:

	dx
∫
	x(x2−1)

1		A		Bx+C
	=		+		= /*x(x2−1)
x(x2−1)		x		x2−1

1= A(x²−1)+x(Bx+C) 1=Ax²−A+Bx²+Cx 1=x²(A+B)+Cx−A A+B=0 C=0 −A=1⇒A=−1 B=1

	dx		−1dx		1dx
∫		= ∫		+∫		= −ln|x| + ...?
	x(x2−1)		x		x2−1

	dx		1		x−a
Jest jakiś wzór na to? Próbowałem z ∫		=		ln(		), ale nie zgadza się
	x2−a2		2		x+a

odpowiedź.

sushi_ gg6397228: x²−1= (x+1)(x−1) i dalej na dwa ułamki proste

Krzysiek: No, ale co mam z nimi zrobić? Mam znów wyznaczać kolejne stałe?

sushi_ gg6397228:

	1		A		A
pytanie było jak policzyć całkę		= (		) − (		) mozna wyliczyc w
	x2−1		x−1		x+1

pamięci

Krzysiek: ∫U{1}{(x−1)(x+1)

1		A		B
	=		+		/*(x−1)(x+1)
(x−1)(x+1)		x−1		x+1

1= A(x+1)+B(x−1) 1= Ax+A+Bx−B 0= A+B⇒ A= −B

	−1
1= A−B⇒ 1=−2B⇒ B=
	2

	1
A=
	2

	1		1
∫U{1}{(x−1)(x+1)=		ln|x−1|−		ln|x+1| + C?
	2		2

Krzysiek: Może i można, ale ja nie mam jeszcze wprawy. Dzisiaj to zacząłem.

sushi_ gg6397228: zgada sie

sushi_ gg6397228:

	1		1		1
mozna poćwiczyć dla liczb		,		,		cos zauwazyć i potem się
	x2−4		x2−9		x2−16

"wozić" na uczelni

Krzysiek:

	dx		1		1
No i odpowiedź do tego: ∫		= −ln|x| +		ln|x−1|−		ln|x+1|+C ?
	x(x2−1)		2		2

	1
W zbiorze mam odpowiedź:		ln|x2−1|−ln|x|+C
	2

1		1
	ln|x−1|−		ln|x+1| to się jakoś "kompresuje"?
2		2

sushi_ gg6397228: dzialania na logarytmach

	a
log a − log b= log
	b

sushi_ gg6397228:

	1
najpierw trzeba dobrze rozłozyć
	x(x2−1)

sushi_ gg6397228:

−1		x
	+
x		x2−1

Krzysiek: To błąd w zbiorze mają... Słuchaj, sprawdź mi to jeszcze jak możesz:

	x2dx
∫
	(x+2)3

x2		A		B		C
	=		+		+		/*(x+2)3
(x+2)3		x+2		(x+2)2		(x+2)3

x²= A(x+2)²+B(x+2)+C x²= Ax²+2Ax+4A+Bx+2B+C x²= Ax²+x(2A+B)+4A+2B+C A=1 2A+B=0⇒ B=−2 4A+2B+C=0⇒ C=0

	x2dx		1dx		−2dx		(x+2)−1
∫		= ∫		+∫		= ln|x+2|−2*		+C=
	(x+2)3		x+1		(x+2)2		−1

	2
ln|x+2|+		+C
	(x+2)

Gdzie robię błąd?

sushi_ gg6397228: źle rozbiłeś na ułamki proste, napisaęłm jak to ma wygladac przemnoż swoje ułamki z pierwszego zadania i zobacz czy wyszła te funkcja podcałkowa co do drugiego zadania zaim policzyc całki dodaj do siebie ułamki i zobacz czy wyjdzie ten co jest w funkcji podcalkowej

Krzysiek:

x2		A		B		C
	=		+		+		− jeśli to jest źle to jak to w takim
(x+2)3		x+2		(x+2)2		(x+2)3

razie rozbić? Napisz mi proszę, bo już ledwo kojarzę. Siedzę przy tym od rana...

Mila: A może zrób tak [x+2=t; x=t−2; dx =dt]

	(t−2)2		t2−4t+4
∫		dt=∫		dt=
	t3		t3

=∫t⁻¹dt−4∫t⁻²dt+4∫t⁻³dt=

	4		2
=lnt+4t−1−2t−2=ln|x+2|+		−
	x+2		(x+2)2

W Twoim masz błąd w (x+2)²

sushi_ gg6397228: (x+2)²= x²+4x+4 a u Ciebie jest x²+2x+4

Krzysiek: Wyszło. Dziękuję

Mila: