. qqq: Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć obrazowo dlaczego za pomocą drugiej pochodnej również możemy rozstrzygnąć czy funkcja ma w danym punkcie ekstremum czy nie? Z góry dzięki

Aga1.: Interesuje Cię dowód twierdzenia, czy praktyczny sposób wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji f dwukrotnie różniczkowalnej?

qqq: Nie tyle formalny dowód co intuicja, która za tym stoi

qqq: up

Aga1.: Chcesz, by wytłumaczyć Ci na przykładzie?

qqq: Tak

Aga1.: Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwukrotnie różniczkowalnej nalęzy: 1)obliczyć f' 2) rozwiązać równanie f^'(x)=0 3) obliczyć f" 4) zbadać znak f" w każdym punkcie , który jest pierwiastkiem równania f^"(x)=0. Jeśli f^'(x₀)<0 mamy maksimum lokalne, gdy f"(x₀)>0 to minimum lokalne. W przypadku, =gdy f"(x₀)=0, nie możemy powiedzieć bez dalszych badań czy funkcja posiada w tym punkcie ekstremum.

Aga1.: W 4) f'(x)=0 Zad. wyznacz ekstrema lokalne funkcji

	1		1
f(x)=		x4−		x3−x2
	4		3

1)f'(x)=x³−x²−2x 2)f'(x)=0 ⇔x(x²−x−2)=0 x₁=0 x₂=−1, x₃=2 3)f"(x)=3x²−2x−2 4) liczymy f"(0)=−2<0 ( w 0 maksimum), f"(−1)=3>0 ( w −1 minimum), f"(2)=6>0 ( w 2 minimum) Obliczamy wartości ekstremalne podstawiając miejsca zerowe pochodnej do danej funkcji y_max=f(0)=0

	−5
ymin=f(−1)=
	12

	−8
ym−n=f(2)=		.
	3

qqq: ok rozumiem w jaki sposób to zrobić miałem na myśli wytłumaczenie dlaczego to "działa"

Artur_z_miasta_Neptuna: to jeszcze raz ... ale 'co dziala'

qqq: twierdzenie. dlaczego obliczenie drugiej pochodnej w punkcie pozwala określić czy jest to minimum czy maksimum

Artur_z_miasta_Neptuna: dobra więc tak ... czy rozumiesz dlaczego wyzerowanie pierwszej pochodnej to warunek KONIECZNY aby w punkcie mogło istnieć ekstremum (lub punkt przegięcia)

qqq: tak, rozumiem. styczna do wykresu w tym punkcie musi mieć zerowe nachylenie

qqq: up

PW: Mówiąc po chłopsku pierwsza pochodna to tangens kata nachylenia stycznej. Jeżeli pochodna tego kąta nachylenia jest dodatnia, to znaczy, że "tangens rośnie" − no to nie ma innego wyjścia. W x₀ był zerowy, więc z prawej musi być dodatni, a z lewej ujemny. Kat nachylenia stycznej z prawej dodatni, z lewej ujemny − w x₀ musiał być "dołek". Porysować i będzie oczywiste.

qqq: dzięki PW, jedyny konkretny komentarz

Artur_z_miasta_Neptuna: okey ... więc wiesz o tym, że pierwsza pochodna zeruje się zarówno przy ekstremach jak i punktach przegięcia (przykład y=x³). ale co ważniejsze ... pierwsza pochodna daje Ci informacje o monotoniczności funkcji f(x) ... dzięki niej wiesz kiedy f(x) rośnie a kiedy maleje druga pochodna podaje informację o monotoniczności f'(x) ... mówi nam kiedy ona maleje, a kiedy rośnie ... warto zauwazyć, że jeżeli f(x) ma ekstremum w punkcie x₀ ... to f'(x) w otoczeniu tego punktu x₀ nie zmienia monotoniczności (jest albo rosnąca albo malejąca) ... co niesie za sobą fakt, że f''(x₀) ≠ 0 natomiast w przypadku punktu przegiecia jest inaczej ... f'(x) w jej otoczeniu zmienia monotoniczność (z malejącej na rosnącą albo z rosnącej na malejącą) ... co niesie za sobą fakt, że f''(x₀) = 0