Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej natalia: Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi równość:

	5n+1−1
b) 1+5+52+53+...+5n=
	4

Robiłam już wiele zadań z indukcji i nie miałam problemu, ale w tej sytuacji nie potrafię zrozumieć jak L=P. Przecież po podstawieniu n=1 wychodzi L=5, P=6. Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?

Mateusz: Na pewno po podstawieniu n=1 wychodzi 5 po lewej stronie podstaw jeszcze raz tylko powoli i pomysl

natalia: Nie no, nie. Nie ogarniam Przecież 5¹ = 5

Mateusz: No i tym oto sposobem wykazałas pierwszym krokiem indukcyjnym (wczesniej) że "kobitki" to kłamczuchy Powodzenia w dowodzeniu

Eta: 5⁰=1 5⁰+5¹+5²+... +5ⁿ dla n=1

	52−1
L= 50+51= 6 P=		= 6
	4

iLoveMath: dlaczego lewa strona to 5⁰+5¹ ?

Dominik: bo 5⁰ = 1, a 5¹ = 5

Eta:

Mateusz: Na początku Eta napisała dlaczego

natalia: Ahaaaa, czyli w tym przypadku musimy wziąć pod uwagę pierwszy wyraz, ponieważ 5¹=5, a

	n(3n−1)
musielibyśmy wziąć n=0, żeby wyszło 1. A w przykładzie: 1+4+7+...+(3n−2)=		po
	2

podstawieniu n=1 wyjdzie 1, więc jednocześnie pierwszy wyraz jest już uwzględniony po podstawieniu. To o to chodzi, prawda?

iLoveMath: ok ale powiedzcie mi o co chodzi np jak mam n=1 to z lewej strony to jeden ma wstawić tam gdzie jest 5ⁿ ? już sie pogubiłem bo mi wykładowca namieszał, że jak jest n=1 to sie bierze tylko jedna liczbe od lewej tj tu jest 1 to l=1....

Mateusz: no mniej więcej tak jak mowisz

iLoveMath: no ludzie skoro jest tak jak mowie to L=1 a P=6

Mateusz: to było do Natalii @iloveMath

	3n+1−1
masz dla przykładu: 1+31+32+...+3n=
	2

dla n=1 L=1+3¹=1+3=4

	31+1−1		8
P=		=		=4
	2		2

iLoveMath: a to przepraszam powiedz mi teraz jedną rzecz, co odpowiada czemu 1+3¹+3²+...+3ⁿ 1+3¹=1+3=4 1 bierze się z pierwszej liczby/cyfry od lewej strony ? a to 3¹ z 3ⁿ czy 3¹ ? nie wiem czy zrozumiesz o co mi chodzi bo ja bym nie zrozumiał

natalia: z 3ⁿ Już rozumiem, dzięki za pomoc

iLoveMath: a jedynka ? skad ?

Mateusz: no tak we wzorze po lewej masz sume zaczynającą sie od jedynki a po prawej juz podstawiam jak widac 1 jeszcze raz dla n=2 bedzie p tak: L=1+3¹+3²=13

	32+1−1		27−1		26
P=		=		=		=13
	2		2		2

iLoveMath: ok mam taki przykład

	n(n+1)
13+23+33+...+n3=(		)2
	2

to dla n=1 dla lewej strony (prawa wiem o co chodzi, ale lewa ni hu) biorę tylko L= 1³=1 czy L=1³+1³ ? dla n=2 biorę 1³+2³, ale to 2³ jest we wzorze jako n³ czy 2³ ? co się podstawia do wzoru po lewej stronie ? wyrazy kolejno od lewej

ciekawski: @iLoveMath, chyba nie kochasz matmy skoro sie tak z nia klocisz

iLoveMath: kocham ja za to, że tak mnie prześladuje i nęka

Mateusz: jest jako n³ a napisane jest zeby pokazac jaka to suma mogli ja tez zapisac np tak: n ∑i² i=1 ale kto by wtedy wiedział o co chodzi ? podobnie: 1+2+3+4+...+n mozna zapisac jako: n ∑i i=1

Mateusz: w pierwszej sigmie ma byc i³ a nie i²

PW: Zapis 1³+2³+3³+...+n³ należy rozumieć w ten sposób: − sumujemy (ma być n składników, bo pierwszy składnik ma jedynkę w podstawie, drugi dwójkę, trzeci trójkę,..., a ostatni n) − co to za suma, w której rozpoczynamy od jedynki i kończymy na n=1 (tu jest pewna konwencja, umowa − jeśli zaczynamy sumowanie na pierwszym składniku i kończymy na pierwszym, to "suma" ma jeden składnik − tylko ten pierwszy). Wiem, że ta umowa nastręcza nieodmiennie trudności, dlatego w ogóle piszę. Oczywiście dla n=2 bierzemy d w a składniki, czyli pierwszy: 1³ i drugi: 2³, zatem lewa strona jest równa 9. Znaczy to, że po lewej stronie n pokazuje ile składników sumować, a po prawej po prostu podstawiamy konkretną n − w przypadku n=2 otrzymamy po prawej stronie

	2.(2+1)
(		)2 = 32=9.
	2

iLoveMath: ok dziękuje Ci za super objaśnienie

iLoveMath: ale jeszcze jedno pytanie co do przykładu na samej górze pierwszy wyraz to jeden czyli 5⁰, więc dlaczego dla n=1 podstawione są dwa wyrazy ? 5⁰+5¹ ?

PW: Bo w tym pierwszym zadaniu sumowanie rozpoczynaliśmy od n=0 (pierwszy był wyraz, w którym wykładnikiem potęgi było 0, drugim − z wykładnikiem potęgi 1, Eta to napisała o 17:37