Zbieżność ciągu i szeregu Julaa: Jakie są zależności miedzy ciągiem a szeregiem? O co chodzi z badaniem zbieżności ciągu a zbieżności szeregu? Co ma wspólnego szereg z ciągiem? Chodzi mi tu aby ktoś to wytłumaczył "na chłopski rozum". Potrzebuje to zrozumieć, bo definicje książkowe mi nie pomagają. Bardzo proszę

Julaa: Ktoś wie?

PW: A bo te definicje w książkach bywają zakręcone. Trzymaj się tego, że "ciąg" i "szereg" to synonimy (jeszcze kiedyś używało się określenia "postęp"). Ciąg sum częściowych to ciąg o wyrazach S_n S_n = a₁+a₂+a₃+...a_n. Jeżeli ciąg S_n ma granicę skończoną przy n→∞, to mówimy, że ciąg (a_n) jest sumowalny, albo że istnieje suma szeregu (suma ciągu, suma wszystkich wyrazów ciągu). Pojęcia zbieżności ciągu i sumowalności szeregu (sumowalności ciągu) bywają mylone. Istnieją ciągi zbieżne, które nie są sumowalne:

	1
an=
	n

Ciąg (a_n) jest zbieżny do zera, to oczywiste. Jednak odpowiedni ciąg sum częściowych

	1		1		1
Sn = 1+		+		+ ...+
	2		3		n

nie ma granicy skończonej (to nie jest oczywiste, bo dodajemy coraz mniej, ale to można wykazać). Mamy więc przykład: ciąg jest zbieżny, a nie istnieje jego suma (nie istnieje suma szeregu mimo że ciąg jest zbieżny). Nazwę "szereg zbieżny" należy utożsamić z określeniem "ciąg jest sumowalny", "istnieje skończona granica ciągu sum częściowych". "Szereg rozbieżny" to żargonowe określenie ciągu, którego granica ciągu sum częściowych nie istnieje lub którego ciąg sum częściowych jest rozbieżny do nieskończoności.

Julaa: Czyli możemy powiedzieć, że S_n = szereg a_n?

PW: Wtedy miałoby sens mówienie "szereg rozbieżny" i "szereg zbieżny", czyli zdecydowałabyś się na przyjęcie określenia, że szereg o wyrazach a_n to jest ciąg sum częściowych jakiegoś ciągu (a_n). Można tak, byle konsekwentnie i dobrze rozumieć sens, z czym nie masz kłopotu. Wtedy przez "sumę szeregu" rozumiemy po prostu jego granicę, jeśli istnieje. Przyznasz, że w niektórych książkach mocno mącą. Spotkałem już takie definicje, że "szereg jest to suma wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego" (typowy błąd − tłumaczenie nieznanego przez nieznane). Poradzisz sobie, spokojnie.

Julaa: dzieki mam nadzieje, ze bedzie dobrze