całki zuzka: Jak obliczyć taką całkę metodą przez podstawienie? ∫ctg(3x)dx

k: t=3x a potem calka z ¹₃∫ctgt dt

PW: Jak zawsze w metodzie 'przez podstawienie" trzeba zobaczyć złożenie funkcji. Pierwsza w kolejności wykonywania ("wewnętrzna") jest funkcja f(x)=3x. Druga w kolejności ("zewnętrzna") jest funkcja g(u)=ctgu. Całka funkcji złożonej daje się ładnie policzyć (jest na to wzór), jeżeli mamy ∫g(f(x)^.f'(x)dx U nas nie ma nic, co miałoby być tą f'(x) − a dobrze by było, gdyby tam stało (3x)', czyli 3. No to piszemy

	1		1
		∫ctg(3x).(3x)'dx=		ln|sin(3x)| +C
	3		3

(to gotowy wzór). Podstawieniem było t=3x, piszą to mechanicznie tak:

	1
x=		t
	3

	1
dx=		dt
	3

i podstawiają:

	1		1		1		1
∫ctg(3x)dx=∫ctg(t)		dt=		∫ctg(t)dt=		ln|sin(t)|=		ln|sin(3x)|
	3		3		3		3