. asdf: pochodne, wyprowadzanie wzoru: y = lnx

	1
y' =
	x

	f(x) − f(x0)		lnx − lnx0
limx−>x0		= limx−>x0		=
	x−x0		x−x0

	x   ln ( )   x0		x − x0   ln (1+ )   x0
limx−>x0		= limx−>x0		=
	x−x0		x−x0

	x − x0   1   ln (1+ ) *   x0   x0		1
limx−>x0		=
	x−x0   x0		x0

dobrze?.

asdf:

	2sin2x
(		)' =
	3cos2x

(2sin2x)' * 3cos2x − (3cos2x)'*2sin2x
	=
3cos2x2

(2sin2x)*ln2*(sin2x)'*3cos2x−(3cos2x)*ln3*(cos2x)'*2sin2x
	=
3cos2x2

(2sin2x)*ln2*sin2x*3cos2x +(3cos2x)*ln3*sin2x*2sin2x
	=
(3cos2x)2

2sin2x * sin2x * 3cos2x(ln2+ln3)
	=
(3cos2x)2

2sin2x * sin2x *ln6
(3cos2x)

Basiek: Okej.

asdf:

	x2+1		1		x2+1
(√		)' =		* (		)' =
	x2−1		x2+1   2√   x2−1		x2−1

1		2x(x2−1) − 2x(x2+1)
	*
x2+1   2√   x2−1		(x2−1)2

Joanna: lim ln(^1+x_x)

PW: @asdf: Cos z tym wyprowadzeniem wzoru na pochodna logarytmu nie tak. Sprawdz haslo "pochodna funkcji odwrotnej" − wydaje mi sie, ze to tak sie robilo.

asdf: tylko, że pochodna się zgadza

asdf: (x + tg³x)^arctg2x = e^{arctg2x * ln (x+tg3x)} * (arctg(2x) * ln(x+tg³x) ) ' =

	2x'
earctg2x * ln (x+tg3x) * (		* ln(x + tg3x) +
	(2x)2 + 1

	(x+tg3x)'*arctg2x
		) =
	x+tg3x

	2ln(x+tg3x)		(1+(tgx)3)'*arctg2x
earctg2x * ln (x+tg3x) * (		+		) =
	(2x)2 + 1		x+tg3x

	2ln(x+tg3x)		(1+3tg2x)*(tgx)'*arctg2x
earctg2x *ln(x+tg3x)*(		+		) =
	(2x)2+1		x+tg3x

	2ln(x+tg3x)		arctg2x   (1+3tg2x)   cos2x
earctg2x*ln(x+tg3x)*(		+		)
	(2x)2+1		x+tg3x

dobrze?

Mila:

	ln(x+h)−ln(x)
limh→0		=
	h

	1		x+h
=limh→0		*ln		=
	h		x

	1		h
=limh→0		*ln(1+		)=
	h		x

	h		h
=limh→0 ln((1+		)1/h=limh→0 (ln((1+		)x/h)1/x=
	x		x

	1
=ln(e1/x)=
	x

PW: @Mila Teraz mi sie podoba.

Mila: Dziękuję pięknie

asdf: Ok, tylko moje rozwiązanie jest z drugiej postaci pochodnej, która jest równoważna, jakoś nie mogę doszukać się błędu u siebie (oczywiscie, nie mowie, ze nie ma tam błędu).

Mila: w ostatniej linijce masz pomnożony ln(...) przez (1/x₀) i dlaczego reszta zniknęła, w tym zapisie nie mogę się zorientować.

Krzysiek: ja tam nie widzę błędu w odpowiedzi asdf.

	ln(1+t)
Mila, pomnożył i podzielił przez 1/x0 i skorzystał z tego co Ty. czyli:		→1 dla
	t

t→0

PW: No tak, ale jeśli w dowodzie jednej trudnej rzeczy korzysta się z innej trudnej, to trzeba np. napisać: "Jak wiadomo,

	ln(1+t)
		→1 dla t→0".
	t

Nie jest to oczywiste i nie można przejść nad tym milcząco. Wątpię, czy taki dowód byłby uznany na egzaminie. Tylko nie mów, że to jest oczywiste, bo ... twierdzenie de l'Hospitala.

asdf: Twierdzenia H nie miałem, a założyłem już, że nie muszę się za wiele rozpisywać nad wzorym podanym przez Krzyska i Ciebie PW. Skoro użyłem wzoru na ln(1+x)/x to idąc Twoim tropem − powinienem go jeszcze wyprowadzić? na egzaminie..

asdf: lim_{x → x0} = lim_{x − x0 → 0}

PW: Ja z dobrego serca, nie złośliwie. Idzie mi o sposób przekazywania wiedzy. Jeżeli korzystasz z jakiegoś znanego, ale nieoczywistego faktu (twierdzenia), to powinieneś na końcu dać komentarz − z czego korzystałeś (np. napisać, że na wykładzie albo na ćwiczeniach był wyprowadzony taki wzór). Same rachunki mogą budzić wątpliwość − czytający nie wie, czy piszący zna ten fakt, czy tak napisał, bo mu to było wygodne. A czytający ma czerwony długopis i może napisać, że istnienie takiej granicy jest tak samo trudne do udowodnienia jak istnienie pochodnej − jest to przecież kluczowy moment w Twoim dowodzie. U Mili była granica

	h
(1+		)x/h.
	x

a to jest powszechnie znane (tu można komentarz pominąć − kto nie wie, że taka granica istnieje, ten nie zna liczby e i nie może mówić o logarytmie naturalnym).

asdf: Ja na prawdę doceniam Waszą pomoc i wcale złośliwy nie jestem tylko staram się "dostrzec gdzie popełniłem błąd" a z natury tak już mam − powiedzenie "bo tak" to nie jest wytłumaczenie dla mnie. Dla mnie ten wzór na ln jest tak samo oczywisty jak wzór na (1+h/x)^x/h. To jest po prostu inna postać tego samego wzoru. Może bardziej "rozbudowana", ale chyba nie tak bardzo by jej nie zrozumieć (patrz − ja jakiś alfa i omega nie jestem, a zrozumiałem"). Może z Twojego doświadczenia wynika, że jest to wzór na ogół trudniejszy do zapamiętania i przez wielu zapominany − ok. Jestem jeszcze zbyt kruchy, żeby porównywać się do Was dlatego u mnie jak wspominałem − nie ma żadnej złośliwości tylko pytania.