logarytm dowód Karlo: Witam, mam zadanko Uzasadnij ze dla x >0 , z >0 i y>0 mamy: log_xz + log_yz ≥ 4* log_xyz probuje na liczne sposoby ale nie moge dojsc z tym do konca, pomozecie ?

Karlo: hmm.?

PW: log_xz = a ⇔ x^a=z log_yz = b ⇔ y^b=z Bez straty ogólności możemy przyjąć, że a>b (przypadkami banalnymi x=y oraz z=1 nie będziemy się zajmować, nierówność jest wtedy oczywista). x^a.y^b=z² log_xy(x^ay^b)=log_xyz² log_xyx^a + log_xyy^b = log_xyz² alog_xyx + blog_xyy = 2log_xyz

	1
logxyz =		[alogxyx + blogxyy].
	2

Zauważmy, że log_xyx+log_xyy=log_xy(xy) = 1, a więc − po oznaczeniu log_xyx=u − log_xyy=1−u Zadana nierówność ma więc postać

	1
a+b ≥ 4.		[au+b(1−u)]
	2

a+b ≥ 2[au+b(1−u)] a+b−2b ≥ 2(au−bu) a−b ≥ 2(a−b)u Założyliśmy, że a−b>0, tym samym badana nierówność jest równoważna nierówności 1 ≥ 2u

	1
u ≤
	2

to znaczy

	1
logxyx ≤
	2

przy założeniu.log_xz > log_yz. Może dokończysz samodzielnie?