oblicz pole trojkata ABC XYZ. :P: Na trojkacie ABC, w ktorym AC=BC, opisao okrag o srodku O i promieniu R=20cm. wiedzac, ze AOB=120st, oblicz pole trojkata ABC oraz dlugosc promienia okregu wpisanego w ten trojkat. rozwaz dwa przypadki.

AS: Skoro ∡AOB = 120^o to ∡ACB = 60^o z t.w, że kąt wpisany w okrąg jest połową kąta środkowego wspartego na tym samym łuku. Skoro ΔABC jest równoramienny to kąty BAC i ABC są równe i wynoszą po 60^o Trójkąt ABC jest równoboczny. Z tw. sinusów a : sin(60^o) = 2*R ⇒ a = 2*R*sin (60^o) ⇒ a = 2*R*√3/2 ⇒ a = R*√3 Pole trójkąta równobocznego P = a²*√3/4 po podstawieniu P = (R*√3)²*√3/4 = R²*3*√3/4 = 3/4*R²*√3 Promień koła wpisanego r:(a/2) = tg(30^o) ⇒ r = a/2*tg(30^o) ⇒ r = R*√3/2*√3/3 ⇒ r = R/2

Bogdan: Nie potrzeba stosować twierdzenia sinusów, ani funkcji trygonometrycznych do rozwiązania tego zadania. Jeśli trójkąt jest równoboczny o boku a i promieniu okręgu opisanego R, to:

	1		1
R =		a√3 /*√3 ⇒ a = R√3 oraz promień okręgu wpisanego r =		R.
	3		2

R = 20

	1
a = 20√3 ⇒ pole P =		*202√3 oraz r = 10.
	4

AS: Zgadzam się,ale chodziło mi o to,by po drodze wyprowadzić te wzory. Uzasadnić je.

XYZ. :P: Drogi Bogdanie, popelniles blad.

	a2*√3
P=
	4

P=300√3 r=10cm ten sama umialam, ale trzeba jeszcze drugi gdzie ma wyjsc P=100√3,r=20√3−30

XYZ. :P: ten 2 przypadek to ma byc trojkat rownoramienny.

Bogdan: Dziękuję za poprawienie, zamiast a = 20√3 wstawiłem 20. Oczywiście P = 300√3