wyznacz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji Sheppard: wyznacz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji F okreslonej wzorem : F(x)=sin2x+cos(^π₆−2x) prosze o wytlumaczenie co skad sie bierze itd dzieki

Sheppard: up

PW:

	π		π		π		√3		1
cos(		−2x) = cos		cos2x + sin		sin2x =		cos2x+		sin2x,
	6		6		6		2		2

a więc

	3		√3
F(x) =		sin2x +		cos2x
	2		2

Nie napisałeś na jakim poziomie się bawisz. Jeżeli umiesz badać funkcję za pomocą pochodnych, to w tej postaci F'(x) daje się łatwo policzyć i nietrudne jest do rozwiązania równanie F'(x) = 0. Elementarnym sposobem − bez pochodnej − na razie nie wymyśliłem.

Sheppard: poziom LO

PW:

	2tgx		1−tg2x
Znane są wzory: sin2x=		, cos2x=		.
	1+tg2x		1+tg2x

Po podstawieniu tgx=t otrzymamy

	3t		√3	1−t2
F(t) =		+
	1+t2		2	1+t2

m=F_max oznacza, że F(t)≤m dla wszystkich t i istnieje t₀, dla której F(t₀)=m. Oczywiście szukając maksimum zakładamy, że sin2x>0 i cos2x>0, a więc t∊<0, 1>. Nierówność

	3t		√3	1−t2
		+			≤m
	1+t2		2	1+t2

(0) (2m+√3)t²−6t+(2m−√3)≥0, t∊<0, 1> może oznaczać, że (1) 2m=−√3 i −6t+2m−√3≥0 dla wszystkich t∊<0, 1> 2m=−√3 i −6t−2√3≥0 dla wszystkich t∊<0, 1> (nieprawda) albo (2) 2m>−√3 i Δ≤0 2m>−√3 i 36−4(2m+√3)(2m−√3)≤0 2m>−√3 i 48−16m²≤0 (3) m≥√3 albo (4) 2m<−√3 i Δ>0 i miejsca zerowe t₁, t₂ funkcji kwadratowej po lewej stronie (0) spełniają nierówności (5) t₁≤0 i t₂≥1. Układ nierówności (5) przy założeniu (4) jest sprzeczny z wzorem Viete'a − iloczyn t₁^.t₂ musiałby być niedodatni, a jest równy

	2m−√3
		>0.
	2m+√3

Podsumowanie. Pokazaliśmy, że jeśli funkcja F spełnia nierówność F(x)≤m dla każdego x, to musi być spełniona nierówność (3), która oznacza, że maksimum funkcji F jest większe lub równe √3. Pozostaje pokazać, że istnieje x, dla którego F(x)=√3:

	π		−π		√3		√3
F(		) = sin{π}{3}+cos		=		+		=√3.
	6		6		2		2

m=√3 jest zatem szukanym maksimum F. Podobnie wyliczyć minimum. Znałem j e d n e g o takiego licealistę, który był w stanie to wymyślić. Dla ścisłości dodaję, że nie byłem to ja malutki. Sam to wynalazłeś, czy masz takiego nauczyciela? Może być jeszcze jedna możliwość − to jest jakieś zadanie konkursowe (olimpijskie). Powiedz prawdę.

Sheppard: w jakims zbiorze zadan przygotowujacych do matury to znalazlem czegos takie nie mialem ale Dzieki ze poswieciles swoj czas