wykaż monia: Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z zachodzi nierówność: ^xy_z + ^yz_x + ^zx_y ≥ x + y + z

zombi: Np. tak

xy		yz		zx
	+		+		≥ x+y+z
z		x		y

Pomnóżmy nierówność obustronnie przez xyz otrzymamy (xy)²+(yx)²+(xz)² ≥ x²yz + y²xz + xyz² dla czytelniejszego zapisu wprowadźmy zmienne pomocnicze a=xy b=yz c=xz Nasza nierówność będzie wyglądała tak: a²+b²+c² ≥ ab+ac+bc Teraz pomnóżmy obustronnie przez 2 2a²+2b²+2c² ≥ 2ab +2ac +2bc wszystko przenosimy na lewą stronę i otrzymujemy a²−2ac+c²+a²−2ab+b²+b²−2bc+c² ≥0 Wszystko składamy we wzory skróconego i nasza nierówność ma teraz postać (a−b)²+(a−c)²+(b−c)² ≥0 Co konczy dowód

pigor: ... lub z nierówności między średnimi arytm. i geom. ^xy_z+^yz_x ≥2√^xy_z*^yz_x=2y i ^zx_y+^xy_z ≥2x i ^yz_x+^zx_y ≥2z, to /+ stronami ⇔ 2^xy_z+2^yz_x+2^zx_y ≥ 2y+2x+2z / : 2 ⇔ ⇔ ^xy_z+^yz_x+^zx_y ≥ y+x+z c.n.w. . ...