Całka Mateusz: Całka: 4

	3x−5
∫		=
	√2+2x−x2

2 Wiem jak zabrać się za tą całkę, ale mam problem taki, że wychodzi mi granica całkowania √−6 i nie wiem czy ja to źle rozwiązuję, czy może jest błąd w przykładzie, co jest prawdopodobne I jak rozwiązać taką całkę kiedy w liczniku mamy 1 a w mianowniku √2+2x−x²?

Basia: Pierwsze spróbuję policzyć. A propos drugiego: masz może Analizę matematyczną w zadaniach Krysickiego i Włodarskiego ? Jeżeli nie to też Ci podpowiem.

Basia: ad.1 −x²+2x+2>0 Δ=4−4*(−1)*2 = 4+8=12=4*3 √Δ=2√3 x₁=^−2−2√3₋₂ = 1+√3 x₂=^−2+2√3₋₂ = 1−√3 x∊(1−√3;1+√3) i tylko w tym przedziale funkcja jest określona czyli granice całkowania muszą zostać zmienione na <2;1+√3> i obawiam się, że tu trzeba liczyć granicę całki określonej na przedziale <2; x₀) przy x₀ → 1+√3 najpierw policz całkę nieoznaczoną F(x) I = lim_x→(1+√3) F(x) − F(2)

Basia: ad.2 −x²+2x+2 = −(x²−2x−2) = −[(x−1)²−3] = 3−(x−1)² =

	(x−1)2		x−1
3[1−		] = 3[1−(		)2]
	3		√3

	1
E=∫		dx =
	√−x2+2x+2

	1
∫		dx
	x−1   √3[1−( )2]   √3

kreska pierwiastka ma być do końca, nie chce się tak napisać

	x−1
t =
	√3

	dx
dt =
	√3

dx = √3 dt

	1
E = ∫		*√3 dt =
	√3(1−t2)

	1
∫		dt =
	√1−t2

	x−1
arcsint +C = arcsin(		)+C
	√3

Basia: Ad.2 to jest zawsze ta sama metoda gdy w liczniku jest stała, a w mianowniku pierwiastek z trójmianu kwadratowego i po rozpisaniu wyjdzie a(1−x²) jeżeli wyjdzie x²+k gdzie k>0 jest koszmarnie, ale też da się policzyć przy pomocy podstawienia Eulera t = x+√x²+k

Mateusz: Dziękuję Basiu, bardzo się naprodukowałaś. Wiesz, tą całkę miałem na kolokwium i właśnie nie powinna wystąpić całka niewłaściwa, gdyż koło było tylko z całek oznaczonych i nieoznaczonych. Zostało mi to wytłumaczone w taki sposób, że całkę należy zapisać w takiej postaci: 4

	−3/2(2−2x)−2
∫		i wtedy rozbijam na dwie całki, zrobię podstawienie za t
	√2+2x−x2

2 no i dalej nie wiedziałem co z tą granicą całkowania.

Basia: Nie może być granica =4 bo 4∉dziedziny funkcji podcałkowej. Zazwyczaj tego nie sprawdzamy, a okazuje się, że trzeba. Mógł to być błąd autora, ale mogło być i celowe zamierzenie. Zasada: jeżeli coś dotyczy funkcji pierwszą i najważniejszą rzeczą jest określenie dziedziny. Niezależnie od tego co mamy zrobić poza tym.

Mateusz: No właśnie. Ale autor sam nam tłumaczył po kole jak rozbić licznik, by dalej ruszyć, więc to nie był celowy błąd właśnie. Próbowałem zwrócić na to uwagę podczas koła, ale niestety nie można było zwracać uwag na temat zadań.