Geometria analityczna. POMOCY Kamil1010: Zad. 1. Wyznacz równianie okręgu o promieniu √10 przechodzącego przez punkt (3,1), wiedząc, że jego środek należy do prostej y=x+2 Zad. 2. Dla jakich wartości parametru "m" równanie x²+y²+2mx−6y+9+2m=0 opisuje okrąg? Zad. 3. Dane są punkty A(0,a) i B (−a,0), gdzie a ≠0. Uzasadnij że, zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu A jest 2 razy większa od odległości od punktu B, jest okręgiem o środku w punkcie S(−¾a, − ⅓a) i promieniu r=2√2/3a. Zad. 4. Dane są punkty A(0,a) i B (2a,0), gdzie a ≠0. Uzasadnij że, zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu A jest 2 razy mniejsza od odległości od punktu B, jest okręgiem o środku w punkcie S(−⅔a, −4/3a) i promieniu r=2√5/3a. Zad. 5. Dana jest prosta k: 3x+2y−1=0. Wyznacz współrzędne punktu należącego do prostej l: y=2x, którego odległość od prostej "k" jest równa √13. Zad. 6. Oblicz pole trójkąta ABC, wiedząc, że A(3,4), B(−1,−2), a wierzchołek C należy do prostej o równaniu 3x+4y−9=0. Zad. 7. Dane są punkty A(2,0), B(0,−4) oraz punkt C o pierwszej współrzędnej należący do prostej y=ax. Dla jakich wartości parametru "a" pole trójkąta ABC jest równe 10 Zad. 8. Napisz równania prostych w których zawierają się dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste 2x+y−2=0 i x−2y−1=0. Zad. 9. Dany jest trójkąt ABC. Bok AB tego trójkąta zawiera się w prostej x−y=2, bok BC − w prostej y+2x=1, a bok AC − w prostej y−3x−6=0. Oblicz wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka B.

Janek191: z. 1 S leży na prostej o równaniu y = x + 2, więc S = ( x ; x + 2) P = ( 3; 1) r = √10 ⇒ r² = 10 I PS I² = r² ( x − 3)² + ( x + 2 − 1)² = 10 x² − 6x + 9 + x² + 2x + 1 = 10 2 x² − 4 x + 10 = 10 2 x² − 4 x = 0 2x*( x − 2) = 0 x = 0 ⋁ x = 2 więc y = 2 ⋁ y = 4 Mamy: S₁ = ( 0; 2) ; S₂ = ( 2 ; 4) Odp. Równania okręgów : x² + ( y − 20² = 10 i ( x −2)² + ( y − 4)² = 10 ================================================================

Janek191: z.2 x² + y² + 2 m x − 6 y + 9 + 2 m = 0 ( x + m)² − m² + ( y − 3) − 9 + 9 + 2m = 0 ( x + m)² + ( y − 3)² = m² − 2m Musi być m² − 2 m > 0 m*( m − 2) > 0 Odp. m < 0 ⋁ m > 2 =================

Janek191: z.3 A = ( 0; a ) , B = ( − a ; 0 ) , a ≠ 0 P = ( x; y) I PA I = 2 *I PB I więc I PA I² = 4 * I PB I² ( 0 − x)² + (a − y)² = 4 [ (− a − x )² + ( 0 − y)² ] x² + a² − 2a y + y² = 4 *[ a² +2a x + x² + y² ] x² + a² − 2a y + y² = 4 a² + 8a x + 4 x² + 4 y² 3 a² + 8a x + 3 x² + 2a y + 3 y² = 0 / : 3 x² + y² + a² + (8/3)a x + (2/3) a y = 0 ( x + (4/3) a)² − (16/9) a² + ( y + (1/3) a)² − (1/9) a² +a² = 0 ( x + (4/3)a )² + ( y + (1/3) a )² = ( 8/9) a² Mamy równanie okręgu o środku S = ( (−4/3) a; ( −1/3) a) i r = ( 2 √2/3) a ==================================================================

Janek191: z.3 A = ( 0; a ) , B = ( − a ; 0 ) , a ≠ 0 P = ( x; y) I PA I = 2 *I PB I więc I PA I² = 4 * I PB I² ( 0 − x)² + (a − y)² = 4 [ (− a − x )² + ( 0 − y)² ] x² + a² − 2a y + y² = 4 *[ a² +2a x + x² + y² ] x² + a² − 2a y + y² = 4 a² + 8a x + 4 x² + 4 y² 3 a² + 8a x + 3 x² + 2a y + 3 y² = 0 / : 3 x² + y² + a² + (8/3)a x + (2/3) a y = 0 ( x + (4/3) a)² − (16/9) a² + ( y + (1/3) a)² − (1/9) a² +a² = 0 ( x + (4/3)a )² + ( y + (1/3) a )² = ( 8/9) a² Mamy równanie okręgu o środku S = ( (−4/3) a; ( −1/3) a) i r = ( 2 √2/3) a ==================================================================

Janek191: z.5 k : 3x + 2y − 1 =0 l : y = 2x P leży na prostej l i jego odległość od prostej k jest równa √13 Mamy P = ( x₀; y_o ) = ( x₀; 2x₀) oraz A = 3, B = 2 , C = − 1 Wstawiamy do wzoru na odległość punktu od prostej : I 3 *x₀ + 2*2x₀ − 1 I / √ 3² + 2² = √13 I 7 x₀ − 1 I / √13 = √13 / * √13 I 7 x₀ − 1 I = 13 7 x_o − 1 = − 13 ⋁ 7 x₀ − 1 = 13 7 x₀ = − 12 ⋁ 7 x₀ = 14 x₀ = − 12/7 ⋁ x₀ = 2 więc y₀ = − 24/7 ⋁ y₀ = 4 Odp. P = ( − 12/7 ; −24/7) lub P = ( 2; 4) ======================================