wielomiany ahu8: Wykaż, że dla p∊R wielomian W(x)=x³−(p+1)x²+(p−3)x+3 ma 3 niekoniecznie różne pierwiastki mnożę: w(x)= x³−px²+x²+px−3x+3=x²(x−p)+x(x+p)−3(x−3) i czy to znaczy, że pierwiastkami są: x=3 oraz jakiekolwiek liczby przeciwne p i −p ?

T: ... to nic nie znaczy ... dotatkowo jeszcze błąd w znakach ...

ahu8: tak, już widzę błąd, zamiast + to − ma być przed x². to w takim razie proszę o podpowiedź

ahu8: to wtedy nie byłyby przeciwne tylko właśnie p i 3

T: ładne zadanko − Z jakiego to zbioru?

ahu8: Myślę, że z głowy mojego matematyka, rzuca zadaniami jak z rękawa. ; )

T: ... można np tak: Zauważamy, że jednym z pierwiastków jest x=1 bo: 1−p−1+p−3+3=0 Zatem nasz wielomian dzieli się bez reszty przez (x−1) Z dzielenia [x³−(p+1)x²+(p−3)x+3]:(x−1) otrzymasz x²−px−3 ... poradzisz sobie?

T: ... no i jak idzie ... bo nie chcę Cię pozbawić przyjemności z samodzielnego "rozkminienia"−

ahu8: Podzieliłam sama Hornerem (żeby mi bardziej utkwiło) (x−1)(x²−px−3)=0 x=1 lub x²−px−3=o zakładam, że Δ≥0 (bo nie mają być różne) Δ=p²+12>0 dla każdego x∊R

ahu8: tfu, dla każdego p∊R

T: ładne zadanko ... prawda?−

ahu8: bardzo, jak każde z wielomianów mi się podoba, szkoda tylko, że mój mózg tak mało ogarnia : )

T: Δ>0 a pierwiastki niekoniecznie różne bo jeden z tego kwadratowego może pokryć się z x₁=1 (dla wprawki możesz sprawdzić dla jakiego p − )

Mila: Δ>0, zatem równanie: x²−px−3=0 ma dwa różne pierwiastki, wykaż, że jeden z nich może być równy 1. I to będzie wszystko .

T: ... a swoją drogą to macie fajnego Profcia −

ahu8: dla p=−2 x²+2x−3 Δ=16 x1=−3, x2=1

T: ... brawo ... bravissimo −

ahu8: O tak, chciałabym mieć takiego Profcia, ale człowiek prywatny to nie państwowy.

Mila: AHU, należą sie od Ciebie, wielkie podziękowania dla T.

ahu8: Ależ oczywiście, o tym się nie zapomina. Po głębokiej analizie zadania rozwiązując go w zeszycie pragnę wyrazić moje serdeczne podziękowanie w stronę T za chęć otwarcia umysłu i pomocy jakiej gotów był udzielić mi w ten mroźny niedzielny wieczór. Dziękuję!

T: ... cała przyjemność ... −

T: dzięki ahu8 .... dzięki Mila ... uciekam na brydża−

Mila: Szlemika życzę.