całka studentka: Jak taką całkę policzyć ? ∫√1−4x² dx

studentka: spróbowałam przez podstawienie za 1−4x² podstawiłam t² . Po wyliczeniach wyszło mi

	1		t2
−		∫		dt
	2		√1−t2

studentka: nie wiem czy dobrze to zrobiłam. I nawet jeżeli dobrze, to teraz nie wiem co z tym zrobić.

studentka: moglby ktoś sprawdzić to dla mnie?

Mila: Ja liczę tak: 1) [2x=t; 2dx=dt]

	1
∫√1−4x2dx=		∫√1−t2dt
	2

	1−t2		1		t2
2)(**) ∫√1−t2dt=∫		dt=∫		dt−∫		dt= [ druga całka
	√1−t2		√1−t2		√1−t2

	t		t
przez części:t=u; dt=du; dv=		; v=∫		dt=−√1−t2]
	√1−t2		√1−t2

=arcsint−(−t√1−t²+∫√1−t²dt=arcsint+t√1−t²−∫√1−t²dt= przenosimy całkę na lewą stronę do (**) i mamy 2∫√1−t²dt=arcsint+t√1−t²

	1
stąd ∫√1−t2dt=		(arcsint+t*√1−t2)
	2

1		1		1
	∫√1−t2dt=		(arcsint+t*√1−t2)=		(arcsin(2x)+2x*√1−4x2)+C
2		4		4

b.:

	sin t
można też podstawić np. x=		, gdzie t ∊[−π/2, π/2]
	2

studentka: dziękuję Mila. nie wpadłam na to, zeby liczyć z "całek stowarzyszonych". Wielkie dzięki

Mila: