asfaf Mateista: Czy ekstremum lokalne funkcji to to samo co punkt krytyczny?

Artur_z_miasta_Neptuna: nie każde ekstremum jest punktem krytycznym nie każdy punkt krytyczny jest ekstremum

Mateista: W takim razie jak wyznaczyć ekstremum lokalne ? tzn skąd wiadomo że punkt krytyczny będzie ekstremum albo nim nie będzie?

Artur_z_miasta_Neptuna: wiadomo że ekstremum MUSI być punktem krytycznym ale jest dodatkowy warunek aby tenże punkt krytyczny, podejrzany o bycie ekstremum, faktycznie był tymże ekstremum

Artur_z_miasta_Neptuna: musi dojść do zmiany znaku f' w otoczeniu punktu x₀ (punktu krytycznego), aby ten był ekstremum funkcji i dodatkowo (co oczywiście) musi funkcja być ciągła w tymże punkcie

psik: ja słyszałem jeszcze nazwę punkt stacjonarny

Mateista: Czyli żeby wyznaczyć ekstrema funkcji, lokalne czy globalne, tak czy siak trzeba wyznaczyć monotoniczność ?

Artur_z_miasta_Neptuna: nie trzeba mozna policzyć kolejne pochodne punkt krytyczny 'x' jest: ekstremum jeżeli f⁽²ⁿ⁻¹⁾(x) = 0 ⋀ f⁽²ⁿ⁾(x) ≠ 0 punktem przegięcia jeżeli f⁽²⁾ⁿ(x) = 0 ⋀ f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x) ≠ 0 jednak dla np. f(x) = x²⁰¹⁰ trochę by zajęło stwierdzenie, że x_o = 0 jest ekstremum funkcji, a nie punktem przegięcia

Mateista: dzięki za przydatne twierdzenie czyli określić że punkt jest ekstremum możemy: −wyznaczając punkt krytyczny i monotoniczność funkcji −wyznaczając punkt krytyczny i licząc kolejne pochodne dziękuję

Artur_z_miasta_Neptuna: można też wykazać że dla nieskończenie małego przedziału (x_o−ε , x_o+ε) funkcja nie jest różnowartościowa ale najprościej pokazać monotoniczność funkcji

Mateista: Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze opisałem rozwiązanie? "Zbadać monotoniczność, ekstrema lokalne i naszkicować wykres funkcji f(x)=x⁴−2x²−3" Obliczam pierwszą pochodną f'(x)=4x³−4x=4x(x−1)(x+1) Wyznaczam monotoniczność funkcji f, badam znak pierwszej pochodnej: f'(x)>0 dla x∊(−1,0)∪(1,∞) f'(x)<0 dla x∊(−∞,−1)∪(0,1) Funkcja f jest : −rosnąca w x∊(−1,0) , x∊(1,∞) −malejąca w x∊(−∞,−1), x∊(0,1) Wyznaczam punkty krytyczne funkcji: f'(x)=0⇔x=−1 ⋁ x=0 ⋁ x=1 Funkcja osiąga ekstremum lokalne w punkcie x=−1. W otoczeniu punktu x=−1 pochodna zmienia znak z − na +, zatem jest to minimum lokalne Funkcja osiąga ekstremum lokalne w punkcie x=0. W otoczeniu punktu x=0 pochodna zmienia znak z + na −, zatem jest to maksimum lokalne Funkcja osiąga ekstremum lokalne w punkcie x=1. W otoczeniu punktu x=1 pochodna zmienia znak z − na +, zatem jest to minimum lokalne f_max=f(0)=−3 f_min=f(−1)=−4 f_min=f(1)=−4 Chodzi mi głównie o opis, bo z metodą nie mam problemu

psik: Czy punkt stacjonarny i krytyczny to to samo? Zadanie wydaje mi się dobrze opisane/

Mateista: tak