funkcja Ice: Zbadaj, dla jakich wartości parametrów a i b funkcja określona wzorem: −x−1, dla x<=1 f(x)=ax²−1, dla 1<x<=2 2^x+b, dla x>2 jest ciągła w punktach x1 i x2 = 2. Dla wyznaczonych wartości a i b sporządź wykres funkcji f(x).

Ice: Oczywiście powinien się tam znaleźć nawias klamrowy, tylko nie mogłem go tu znaleźć pomoże ktoś?

PW: Wartość funkcji w jedynce jest określona przez "górny" wzór: f(1) = −1−1 = −2 Dla x≤1 funkcja f jest ciągła jako funkcja liniowa, więc nie ma potrzeby liczyć granicy dla x→1⁻, granica jest równa wartości. Chcąc uzyskać ciągłość obustronną w 1 musimy zadbać, aby granica prawostronna też była równa −2. W pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x₁=1 funkcja f jest określona wzorem f(x) = ax²−1. Dla a=0 byłoby f(x) = −1, a więc nie uzyskalibyśmy funkcji ciągłej, bo limf(x)=−1 dla x→1⁺. Dla a≠0 mamy do czynienia z funkcją kwadratową f(x)=ax²−1, która − rozpatrywana dla wszystkich x∊R − jest funkcją ciągłą, a więc w szczególności limf(x) = a^.1²−1 dla x→1⁺. Chcąc, aby ta granica była równa −2, musimy przyjąć a=−1. Takie samo rozumowanie trzeba przeprowadzić dla punktu x₂=2. f(2)=a^.2²−1 = −1^.4−1 = −5. Musieliśmy już konsekwentnie wziąć a=−1, żeby zapewnić ciągłość w x₁. Mamy więc f(2)=−5 i naszym zadaniem jest tak dobrać b, aby f(x) liczona według "dolnego" przepisu dążyła do −5, gdy x→2⁺. Ponieważ lim(2^x+b) = 2²+b = 4+b dla x→2⁺ (gdyż funkcja 2^x jest ciągła na R), musimy przyjąć 4+b=−5, to znaczy b=−9.