dowod liczb nieawymiernych debi: Witam. Pomolby mi ktos w rozwiazaniu tego zadania: Wykaż z definicji liczb niewymiernych ze √11 jest iczba niewymierna. Liczba nie wymierna to liczba ktorej nie mozna zapisac w postaci ulamka skladajacego sie z liczb calkowitych, ale nie wiem jak to wykorzystac...

Mateusz: Załzmy jednak ze √11 jest wymierna wtedy istniałyby dwie takie liczby całkowite m i n ze:

	m		m
√11=		gdzie		jest ułamkiem nieskracalnym tzn ze NWD(m,n)=1 i m∊N+ i n∊N+ wiemy
	n		n

	m		m*m
ze kwadraty liczb dodatnich są dodatnie wiec (		)2=11 czyli		=11 a zatem
	n		n*n

11*n*n=m*m teraz coś zauwaz i powyciągaj dalej idące wnioski

andrzej: nie mam pojecia

Mateusz: A w ogole rozumiesz pierwszą część? skąd co i dlaczego? idąc dalej zauwazam ze liczba 11*n*n jest podzielna przez 11 stąd m tez jest podzielne przez 11 a m*m przez 22 a jesli 22 dzieli prawą stronę rownosci to dzieli i lewą zatem n*n jest podzielne przez 11 wiec i samo n jest podzielne przez 11 czyli jaki dalej wniosek ze liczby m i n przez co sie dzielą

debi: nie rozumiem czemu m*m dzieli sie przez 22, no jak lewa dzieli sie przez 11 to prawa tez, nie rozumiem tez dlaczego samo m dzieli sie prze 11

Mateusz: dlatego: 11*n*n=m*m masz rownosc tj 2*3=3*2

Nienor: Jeżeli lewa strona to 11*n*n, to żeby równość była zachowana m*m musi się dzieliś przez 11 (bo 11 jest liczbą pierwszą). Czyli m=11 (żeby się te 11 z obu stron skróciły). Wtedy prawa strona jest równa 121 (11*11), więc z lewej też musi być jescze jedna 11, czyli n=11. I tu dochodzimy do sprzeczności. Z prawej strony są dwie 11, a z lewej trzy. Więc to równanie nie jest spełnione dla żadnej liczby całkowitej.

debi: i tak nie czaje..

Mateusz: Scislej jak juz Nienor dokonczył chodzi o to ze wtedy NWD liczb m i n wynosi: NWD(m,n)≥11 co jest sprzeczne z załozeniem na początku tj NWD(m,n)=1 co konczy definitywnie dowód ze √11 jest liczbą niewymierną

Nienor: A pamiętasz, że 11 dzieli się tylko przez 11 i 1

debi: aha teraz to juz widze

Nienor: