Andrzej: Spróbuję wyjaśnić na prostym przykładzie.
Zagraj ze mną w taką grę:
Rzucimy raz kostką, taką sześcienną.
Jak wypadnie "6" to zapłacisz mi 30 zł
Jak wypadnie "5" albo "4" to ja Ci zapłacę 12 zł
Jak wypadnie "1" albo "2" albo "3" to ja Ci zapłacę 6 zł.
Zmienna losowa to funkcja, której argumentami są zdarzenia elementarne, a wartościami liczby.
Niech w naszej grze zmienna losowa X będzie funkcją, która każdemu wynikowi rzutu kostką
przypisze wielkość MOJEJ wygranej wyrażoną w złotych polskich.
Jest sześć zdarzeń elementarnych, oto wartości naszej zmiennej losowej dla każdego z nich:
X(1) = −6 ujemna, bo JA przegrałem, ja płacę
X(2) = −6
X(3) = −6
X(4) = −12
X(5) = −12
X(6) = 30 dodatnia, bo JA wygrałem, Ty mi płacisz
Jak myślisz, czy jak zagramy w to 10, 20, 50 razy, to powinieneś być ogólnie na plusie ? czy
może ja powinienem wygrać ?
Do tego służy wartość oczekiwana zmiennej losowej, oznaczana EX, a oblicza się ją tak:
wartość zmiennej losowej dla każdego zdarzenia mnoży się przez jego prawdopodobieństwo, i
dodaje to wszystko do kupy.
W naszej grze EX (czyli wartość oczekiwana MOJEJ wygranej) będzie równa
| | 1 | | 1 | | 1 | |
3 * |
| * (−6) + 2 * |
| * (−12) + |
| * 30 = −3 + (−4) + 5 = −2 |
| | 6 | | 6 | | 6 | |
| | 1 | |
(bo były trzy zdarzenia o prawdopodobieństwie |
| , w których była wartość mojej wygranej |
| | 6 | |
równa −6, itd.)
A to oznacza, tak na prosty rozum, że statystycznie w każdej grze powinienem przegrywać średnio
2 zł.
Czyli jak zagramy w to 10 razy, to oczekuj, że będziesz 20 zł do przodu.
Podobna gra: rzućmy monetą, jak wypadnie orzeł, to płacisz mi 10 zł, a jak reszka, to ja Ci
płacę 5 zł (to tak żeby się trochę odegrać za tamte kostki).
Niech teraz zmienna losowa X oznacza wartość TWOJEJ wygranej.
Wtedy mamy X(R) = 5
X (O) = −10
| | 1 | | 1 | |
EX = |
| * 5 + |
| * (−10) = −2.5 |
| | 2 | | 2 | |
Wartość oczekiwana Twojej wygranej wyszła ujemna, to znaczy że gra jest korzystna dla mnie, i
teoretycznie np. po 20 rzutach powinienem być 50 zł do przodu
