obliczyć całkę na ułamki proste Kasia:

	4x+1
∫		dx
	3x2+5x−2

Kasia:

Dżoana: Najpierw trzeba wyznaczyć ułamki pomocniczo (oblicz z Δ):

4x+1		A		B
	=		+
3x2+5x−2		x+6		1   x−   3

pomnożyć przez równanie kwadratowe i wychodzi:

	1
4x+1=A*(x−		)+B*(x+6)
	3

	1
z tego podstwiając za x:		lub −6 otrzymasz A i B
	3

mając dwa ułamki liczysz całkę dla każdego z nich i stosujesz wzór z ln

Kasia: czyli jak? bo co mi nie wychodzi

ICSP: Brakuje 3 w mianowniku

Jakub ale inny:

	4x+1
∫		dx
	3x2+5x−2

Rozbijamy mianownik do postaci iloczynowej: 3x²+5x−2 Δ=25+24=49 √49=7 x₁=−2

	1
x2=
	3

	1
więc: 3x2+5x−2=3(x+2)(x−		)
	3

Rozbijamy funkcję podcałkową na tzw. ułami proste (patrz Bronsztejn Siemieniadiajew

	4x+1		A		B
∫		dx=∫ (		+		) dx
	3x2+5x−2		3(x+2)		1   x−   3

A		B		4x+1		1
	+		=		/ 3(x+2)(x−		) (mnożymy)
3 (x+2)		1   x−   3		1   3(x+2)(x− )   3		3

	1
A(x−		)+B(3 (x+2))=4x+1
	3

	1
1) x=
	3

	4
B(1+6)=		+1
	3

	7		1
B=		:7=
	3		3

2) x=−2

	1
A(−2−		)=4 (−2)+1
	3

A=3

	4x+1		3
∫		dx=∫
	3x2+5x−2		3 (x+2)

	1   dx 3		dx		1		dx
dx+∫		=∫		+		∫
	1   x−   3		x+2		3		x−1/3

Jakub ale inny: Dalej:

	dx		dt
∫		={x+2=t,dx=dt}=∫		=ln(t)+C1=ln(x+2)+C1
	x+2		t

	dx		dt
∫		={t=x−1/3,dt=dx}=∫		=ln(t)+C2=ln(x−1/3)+C2
	x−1/3		t

Sumując obie całki

	4x+1
∫		dx=ln(x+2)+ln(x−1/3)+C
	3x2+5x−2

Jakub ale inny: autokorekta: w drugim ułamku powinno być 1/3 przed ln(x−1/3)

Kasia: dziękuje bardzo ale to bardzo