logarytmy Cinia: Wykaz, ze jesli a,b ∊ (1;∞), to log_ab + log_ba ≥ 2. Moje rozwiązanie: ^logb_loga + ^loga_logb −2 ≥ 0 ^{logb2+loga2−2logab}_{loga * logb} ≥ log1 ^(a−b)2_ab ≥ 1 czy z tego cokolwiek wynika, czy to zly tok rozumowania?

Cinia:

asdf: log_ab + log_ba ≥ 2

	1
logab +		≥ 2
	logab

	1
t +		≥ 2 // *t
	t

t² − 2t + 1 ≥ 0 (t−1)² ≥ 0 (log_ab − 1)² ≥ 0

Skipper: może lepiej tak:

	1
logab+		≥2
	logab

(log_ab−1)²≥0

zośka:

	logaa		1
logab+		=loga+
	logab		logab

czyli mamy tu sumę liczby i jej odwrotności. Skoro a,b∊(1,+∞) to log_ab>0.

	1
Czyli wystarczy pokazać, że jeśli x>0, to x+		≥2 ? ( u nas x=logab)
	x

A to jest proste wystarczy pomnożyć przez xobie strony nierówności (mogę bo x>0) x²+1≥2 x ? x²−2x+1≥0 ? (x−1)¹≥0 tak zawsze

Licealista: Po pierwsze, zaczynamy zawsze od największej oczywistości: dla każdego a,b∊(1,∞) (log_ab−log_ba)²≥0 log_ab²+log_ba²≥2log_ba*log_ab /:log_ba*log_ab (w tym wypadku logarytm jest zawsze dodatni, bo podstawa większa od 1 i liczba logarytmowana większa od 1)

logab		logba
	+		≥2
logba		logab

logab		logba
	+		−2≥0
logba		logab

c.n.w.

Licealista: nie patrz na moje rozwiazanie, spojrzalem nie na ta nierownosc do udowodnienia, tak to sie dzieje o tej porze