Wykaż, że funkcja m: Wykaż, że funkcja a) f(x) = 10x−5x² jest malejąca w przedziale (1,+∞) f(x)=10x−5x² , x∊(1,+∞) Niech x₁<x₂ i x₁,x₂ ∊ (1,+∞) f(x₁)=10x₁−5x₁² f(x₂)=10x₂−5x₂² Badam znak: f(x₁) − f(x₂) f(x₁)−f(x₂)=10x₁−5x₁²−(10x₂−5x₂²)=10x₁−5x₁²−10x₂+5x₂²=10(x₁−x ₂)−5(x₁²−x₂²)=10(x₁−x₂)−5(x₁−x₂)(x₁+x₂)=(x₁−x₂)[−5(x₁+x₂)+10]..... Czy dobrze napisałem po ostatnim równa się ? Dobrze wyłączyłem czynnik ? Bo do znaku równości robiliśmy w szkole tylko teraz nie wiem jaki znak w stawić w miejsce kropek ... mniejszości, większości ? Jak to ustalić ? Proszę o pomoc.

m:

Licealista: Dobrze Z założenia masz że x₁<x₂⇒x₁−x₂<0 wracamy do tego co Ci wyszło, przekształcę to do postaci −5(x₁−x₂)(x₁+x₂−2) − x₁−x₂<0 z założenia − x₁+x₂ >2 (bo x₁,x₂∊(1,∞)) ⇒ x₁+x₂−2>0 −całe wyrażenie (x₁−x₂)(x₁+x₂−2) <0 ⇒ −5(x₁−x₂)(x₁+x₂−2)>0 (zmieniamy kierunek nierówności po pomnożeniu przez liczbę ujemną) A więc f(x₁)−f(x₂)>0⇒f(x₁)>f(x₂), czyli definitywnie funkcja jest malejąca

m: Dziękuje

m: b) f(x) = 2x²−12x, x∊(3,+∞) Niech x₁<x₂ i x₁,x₂ ∊(3,+∞) f(x₁)=2x₁²−12x₁ f(x₂)=2x₂²−12x₂ Badam znak: f(x₁)−f(x₂) f(x₁)−f(x₂)=2x₁²−12x₁−(2x₂²−12x₂)=2x₁²−12x₁−2x₂²+12x₂=2x₁²−2x₂²−12x₁+12x₂ = ... Proszę o pomoc ponieważ nie wiem czy dobrze zapisałem i jak mam dalej to zrobić ...Pozdrawiam.

Licealista: =2[(x₁−x₂)(x₁+x₂)−6(x₁−x₂)]=2(x₁−x₂)(x₁+x₂−6) −(x₁−x₂)<0 z założenia −(x₁+x₂−6) zauważ że to jest zawsze >0 , ponieważ (x₁+x₂)>6 −2(x₁−x₂)(x₁+x₂−6)<0, a więc f(x₁)<f(x₂), więc funkcja jest rosnąca Jest jeszcze inna metoda którą można zastosować jeśli miałeś już dokładniejsze badanie funkcji kwadratowej. Mianowicie, obliczamy wierzchołek paraboli W(3,−18), a więc wszystkie argumenty należące do danego przedziału będą się znajdowały na prawym ramieniu paraboli. Teraz tylko ustalamy czy ramiona są skierowane do góry, czy do dołu. Współczynnik a przy x² jest dodatni, a więc ramiona są skierowane do góry, co oznacza że funkcja jest rosnąca w przedziale (3,∞)

m: Jeszcze tego niestety nie mieliśmy dopiero co mieliśmy dziedzinę, miejsca zerowe dopiero zaczęliśmy monotoniczność ale zapiszę sobie przyda się i bardzo dziękuję Ja właśnie w tym nie mam problemu aby zapisać problem dopiero się pojawia jak mam coś wyłączyć bo wtedy trzeba się najbardziej skupić. Dziękuję.

Licealista: taak , pamiętam ile pracy nad tym bło w klasie pierwszej, jednak teraz, kiedy jestem w drugiej klasie, wyłączanie przed nawias w zasadzie weszło w krew. Polecam porozwiązywać trochę prostych równań wielomianowych 2 i 3 stopnia

m: czyli 2(x₁−x₂)(x₁+x₂−6)<0 Uzasadnienie: x₁−x₂<0, bo x₁<x₂, x₁,x₂ ∊(3,+∞) x₁+x₂<0, bo −−−−−−−−−−−−−||−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Pokazaliśmy, że f(x₁)−f(x₂)<0 czyli f(x₁)<f(x₂) przy zał. że x₁<x₂ stąd stwierdzam, że funkcja w przedziale (3,+∞) jest rosnąca. Czy dobrze myślę ?

m: Też tak myślę, że dużo ćwiczeń da mi dużo na razie się wdrażam do tych funkcji zobaczymy jak to będzie ale myślę, że sobie poradzę.

m: jest ktoś ? hehe

Licealista: Dokładnie tak

m: O to dzięki dobrze ze jednak troche rozumiem Dobranoc

malinoowa96: jak to zrobić? x²−2x jest malejąca w przedziale (−∞,0) błagam o pomoc

mała: a jak to zrobić −x²+3x jest rosnąca w przedziale (−∞,0)