Trygonometria Gosia: y = sin (x) + cos (x) Wyznacz wartość największą i najmniejszą tej funkcji.

PW: Załóżmy, że obie dodawane funkcje mają wartości dodatnie. Wówczas y² = (sinx+cosx)² = sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx=1+sin2x y²=1+2sinx , sin2x>0 y² jest kwadratem wyrażenia dodatniego, a więc jest funkcją rosnącą, czyli przyjmuje maksymalną wartość, gdy maksymalną wartość przyjmuje 1+2sinx. Również y przyjmuje wtedy wartość maksymalną.

	π
Jest tak wtedy, gdy sin2x=1, to znaczy gdy x=		+kπ, k∊C
	4

Odpowiedź: maksymalną wartością y² jest 1+1=2, a więc maksymalną wartością y jest √2. Wynika to z faktu, że jeśli jedna z funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a druga ujemne, to ich suma będzie mniejsza od 1<√2. Spróbuj to samo dla minimum, przy założeniu sinx,0 i cosx<0.

	π
Uwaga. Wcale nie musieliśmy wyznaczać, że ymax=y(		). Nie pytali o to, więc zgodnie z
	4

zasadą "odpowiadaj tylko na postawione pytania" właściwie nie należało tego robić. Ja to zrobiłem z ciekawości (a właściwie, ponieważ odpowiedź znałem − po to by drugi raz nie odpowiadać na pytanie "a jak narysować wykres").