Dariusz: I kolejne zadanka do sprawdzenia
Bede wdzieczny za szybka pomoc^
1)Udowodnic, ze dla liczb dodatnich a i b zachodzi nierownosc:
a
3 b
3
--- + --- ≥> a
2 + b
2
b a
Wykorzystajmy ciagi jednomonotoniczne:
Rozwazmy ciagi a
3, b
3, oraz 1/a, 1/b,...Poniewaz ciagi sa przeciwnie uporzadkowane
oraz 1/b 1/a jest permutacja 1/a, 1/b to
| a
3 b
3| | a
3 b
3|
a
2 + b
2 = | 1 1 | ≤ | 1 1 | = a
3/b + b
3/a
| --- ---| | --- ---|
| a b | | b a |
2) Rozwiazac w liczbach dodatnich nastepujacy uklad rownan:
x
y=z
y
z=x
z
x=y
Stosujemy przyksztalcenia i podstawienia nastepujaco:( jezeli w wykladniu sa dwie literki
np, jezeli mamy x
zy to chodzilo mi o przyklad gdzie wykladnik to z
y
x
y=x
y
x
y=x
zx
x
y=y
zxyx
x
y=y
zzx
x
y=y
zy
Zatem mamy x
zx=y
zy czyli y=x
x
x=z
x
z=x
z
x=x
Rozwazmy rownanie diofantyczne postaci: x
z=z
x.
Oczywiscie pierwsze rozwiazanie rownania to wszystkie liczby gdy x=y, zalozmy jednak, ze
x>y
Zauwazmy teraz, ze poniewaz pewne potegi liczb x i y sa sobie rowne, to liczby x i y
posiadaja wspolny dzielnik.
Poniewaz x>y oraz x i y nie sa wzglednie pierwsze to y|x, zatem niech x=ky,
Mamy wiec:
y
ky=ky
y czyli yk=y
k oraz k=y
k-1 co jest niemozliwe do spelnienia
dla
k>2, x>1, bezposrednim sprawdzeniem wykazujemy, ze rownanie x
z=z
x ma dwa rozwiazania w
liczbach
x<>y x=2, y=4 i x=4 y=2 Podstawmy te liczby do ukladu otrzymujac:
2
4=16 oraz
16
2=4, sprzecznosc, oczywiscie analogicznie dowodzimy sprzecznosci dla x=4 y=2
Mamy wiec x=y=z, rozwazmy rownanie x
x=x, zauwazamy, ze jest spelnione dla jednej liczby
w
liczbach dodatnich; x=1 i to jest jedyne rozwiazanie naszego ukladu; (1,1,1)
3) Hardcorowa kombinatoryka;
Na plaszczyznie dany jest skonczony zbior M punktow o tej wlasnosci, ze na dowolnej
prostej,
poprowadzonej przez dwa punkty A,B ∈ M znajdziemy trzeci punkt C∈M. Udowodnij, ze
wszystkie
punkty zbioru M leza na tej samej prostej.
I sposob
Na poczatku lemat; istnieje tylko jedna prosta laczaca dwa punkty tej samej plaszczyzny
lezaca rowniez na tej plaszczyznie.
Dowod: Dowod jest bardzo intuicyjny; rysujemy wykres oraz 2 punkty o roznych
wspolrzednych, tzn takie
ktore sie nie pokrywaja, teraz wystarczy zauwazyc, ze istnieje tylko jeden wykres funkcji
liniowej o
takiej wlasnosci, ze jego prosta przechodzi przez punkty A,B.
Zalozmy, ze mamy 3 punkty wspoliniowe, dodajac kolejny punkt z warunkow zadania mamy ze
musi lezec na tej samej prostej co minimum
pozostale dwa, a istnieje tylko jedna taka prosta ktora przechodzi rowniez przez 3 punkt,
dodajac 5 punkt analogicznie rozumujemy co poprzednio.
Rozwazmy uogolnienie na X punktow; (1,2,3,4,....,X) Zatem niech prosta F laczy punkty
1,2,3. Zalozmy teraz, ze istnieje taka prosta G, ktora
laczy tylko i tylko pewna skonczona liczbe punktow mniejsza od X, w ten sposob, ze prosta
G nie naklada sie na prosta F.
Niech beda to 3 punkty, ktorych nie polaczyla prosta F, analogicznie dodajemy kolejne
proste, rozwazmy teraz trzy przypadki:
1)Pozostal nam jeden punkt, zauwazamy teraz, ze laczac nasz pozostaly punkt z dowolnym
punktem otrzymujemy wspolliniowosc ostatniego odcinka z tym ktory pozostal,
Jednakze zauwazmy teraz, ze laczac pewne dowolne punkty znajdujace sie na roznych
prostych nie zawsze otrzymujemy trzeci punkt.
2)Pozostalo nam 0 punktow. Zatem mamy 1/3X prostych laczacych po 3 punkty, jednak
zauwazmy, ze laczac dowolne punkty A,B nie zawsze otrzymamy 3 punkt na
prostej laczacej te punkty.
3)Pozostaly nam 2 punkty. Polaczmy te punkty w ten sposob, ze na prostej je laczacej
znajdziemy 3punkt, zatem 2 pewne proste sie przecinaja, zatem laczac te punkty, ktore
nie sa punktem przeciecia otrzymujemy 2 punkty na pewnej prostej, jezeli inna prosta lezy
w ten sposob, ze nasza prosta przechodzi przez punkt na tej prostej otrzymujemy kolejne
proste ktore sie przecinaja, analogicznie postepujemy pewna skonczona ilosc razy,
zauwazamy, ze po pewnej skonczonej ilosci razy wykonaniu takiego ruchu przecinania
prostych
otrzymamy 1prosta przez ktora przechodza 2 punkty.
Otrzymane sprzecznosci dowodza, ze nie da sie pogrupowac naszych prostych w ten sposob,
ze nie sa wspoliniowe i spelniaja warunki zadania.
II sposob:
Wykazemy wspolliniowosc przez indukcje ze wzgledu na liczbe punktow.
Zalozmy, ze dla n punktow punkty sa wspolliniowe, dodajac 1 punkt punkty rowniez sa
wspolliniowe; dowod:
Jako, ze musimy pozostaly punkt polaczyc z dwoma innymi ta sama prosta, to na mocy lematu
z metody I mamy, ze rowniez punkt
n+1 jest wspoliniowy.