teoria Michaś: Kilka pytań teoretycznych z ciągłości funkcji. Proszę o odp i ewentualnie o krótkie uzasadnienie. 1. Czy funkcja ciągła określona na zbiorze domkniętym i ograniczonym może przyjmować dowolnie małe wartości ? 2. Czy funkcja ciągła określona na zbiorze domkniętym i ograniczonym może przyjmować dowolnie duże wartości ? 3. Czy istnieje funkcja ciągła tylko w jednym punkcie ? 4. Które pojęcie jest silniejsze ciągłość czy jednostajna ciągłość ? 5. Niech A będzie pewnym zbiorem. f,g : A → R są pewnymi funkcjami o wartościach dodatnich. Jeżeli funkcja (f * g) jest ciągła to co można powiedzieć o ciągłości funkcji g oraz f ? 6. Niech A będzie pewnym zbiorem. f,g : A → R są pewnymi funkcjami. Jeżeli funkcja (f + g) jest ciągła to co można powiedzieć o ciągłości funkcji g oraz f ? 7. Jakieś uzasadnienie do tego że definicje Heinego i Cauchy'ego ciągłości funkcji są równoważne

witek: witamy RRC

Godzio: 1 i 2 Dowolnie małe może, dowolnie dużych nie może.

	⎧	x dla x ∉ Q
3. Tak f(x) =	⎨
	⎩	0 dla x ∊ Q

Jest ciągła tylko w 0 4. Jednostajna ciągłość implikuje ciągłość, więc jest silniejszym warunkiem 5. Nie za dużo:

	1
x *		= 1 −− ciągła
	x

	1
x − ciągła,		− nie ciągła w 0
	x

Można powymyślać różne przykłady i różne kombinacje 6. J/W można określić tak funkcje, że mogą być albo ciągłe, albo nie ciągłe, 7. Na necie jest sporo, w jedną stronę jest banalne, w drugą trochę gorzej.

witek:

	1
AD 5, będzie ciągła bo nie bierzemy		gdyż mają być wartości dodatnie a 0 raczej dodatnie
	x

nie jest.

Michał: Na podstawie czego udzieliłeś odpowiedzi do pytania 1 i 2 ?

Michał: Jakieś twierdzenie , zasada która o tym mówi ?

Michał: Naprawdę nie da się tego uzasadnić ?

Artur_z_miasta_Neptuna: a tak tylko do AD1 ...co ma oznaczać ' dowolnie małe chodzi tutaj o dowolnie bliskie 0 czy dowolnie duże ujemne

Artur_z_miasta_Neptuna: AD5. ale już:

	⎧	x gdy x<0
f(x) =	⎩	−x gdy x≥0

	⎧	1 gdy x<0
g(x) =	⎩	−1 gdy x≥0

daje nam funkcję ciągłą i nieciągła (w x₀=0), a f*g = x jest ciągła w R

Artur_z_miasta_Neptuna: AD1 i AD2 ... gdy funkcja jest ciągła i jest określona na zbiorze domkniętym (i ograniczonym) to przyjmuje ona wartości z określonego przedziału <m; M> ... co oznacza, że jest ona ograniczona ... czyli nie może przyjmować dowolnie dużych i małych wartości

Michał: takie miałem polecenie na kolokwium. Wydaje mi się, że chodzi o dowolnie duże ujemne