Wielomiany - rezta z dzielenia Annie: 1) Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q określony wzorem Q(x)=x⁴ + x³ − x − 1 wynosi x³ + x² + x + 2. Wyznacz resztę z dzielenia W przez x² − 1 2) Wyznacz wartości m, dla których reszta z dzielenia w(x)= x⁴ x³ + x² + x + |m+1| przez q(x)= x² +x + 1 jest równa r(x)= x +1 3) Wykaż, że liczby rzeczywiste x₁, x₂, x₃ są pierwiastkami wielomianu W(x)=ax³ + bx² + cx + d, gdzie a≠0, wtedy i tylko wtedy gdy

⎧	x1 + x2 + x3 = −b/a
⎨	x1x2 + x2x3 + x3x1= c/ a
⎩	x1x2x3= −d/a

Zastanów się czy ten fakt można wykorzystać do rozwiązania dowolnego równania 2 stopnia (zrobić przykład) Dla jakich a,b w(x)=x³ +ax +b ma trzy pierwiastki takie, że x₁=x₂=x₃ − 3

Skipper: w 2) ... x⁴+ czy − x³+x²+x+|m+1|

Annie: +, przepraszam, przeoczyłam

MQ: Ad 1: Zauważ, że Q(x)=x⁴+x³−x−1=(x⁴−1)+x(x²−1)=(x²−1)(x²+1)+x(x²−1)=(x²−1)(x²+x+1)

Annie: W(x)=H(x)*Q(x)+R(x) W(x)=H(x)*(x−1)(x+1)(x²+x+1)+ (x³ + x² + x + 2) i co dalej...?

Skipper: 2) (x²+x+1)(ax²+bx+c)+x+1 ... przyrównaj do x⁴+x³+x²+x+|m+1| widać, że a=1 x⁴+bx³+cx²+x³+bx²+cx+x²+bx+c+x+1 x⁴+x³(b+1)+x²(1+b+c)+x(1+b+c)+c+1 b+1=1 ⇒ b=0 1+b+c=1 1+c=1 ⇒ c=0 c+1=|m+1| ⇒|m+1|=1 ⇒ m₁= m₂=

MQ: To dalej, że widać, że H(x)*Q(x) jest podzielne przez (x²−1) więc reszta z dzielenia W(x) przez (x²−1) jest taka sama jak reszta z dzielenia R(x) przez (x²−1)

Annie: W(x)=G(x)*(x−1)(x+1) + ax + b Czyli z pierwszego rownania w(1)= 0 + 5= 5 z drugiego rownania w(1)= 0 + a + b =a + b z pierwszego rownania w(−1)= 0 + 1= 1 z drugiego rownania w(−1)= 0 − a + b= −a +b a+b =5 −a+b=1 a + 1 +a = 5 2a=4 a=2 b=1+a= 3 r(x)=2x+3 Czy mogę założyć że ta reszta będzie miała postać ax + b?

Annie: Skipper dzięki, widzę to 2

Skipper: −