Dariusz: Dwa zadanka do sprawdzenia, moze ktos pomoze Kilka zadan do sprawdzenia: 1)Znajdz wszystkie takie wielomiany P(x), dla ktorych zachodzi nastepujaca tozsamosc: (x-26)P(x) = xP(x-1) Rozwiazanie: Podstawiajac x=0 mamy -26*P(0) = 0 Zatem P(0)=0, to chyba oczywiste jest Podstawiaac x=1 mamy -25*P(1)=P(0), zatem: -25*P(1)=0, zatem P(1)=0 Podstawiajac x=2 mamy: -24*P(2)=2*P(1)=0, zatem P(2)=0 Podstawiajac kolejno do x=25 otrzymujemy, ze szukany wielomian jest podzielny przez x, x-1, x-2....x-25. Zatem niech wielomian P(x) = r(x)*x*x-1*x-2*....x-25 Podstawiajac to do naszej tozsamosci otrzymujemy: (x-26)(x-25)(x-24)...(x-1)x*r(x)=x*P(x-1)=x*(x-1)(x-2)...(x-26)*r(x-1) Zatem po podzieleniu stronami przez te wszystkie x otrzymujemy rownanie funkcyjne: r(x)=r(x-1)...Zauwazamy teraz, ze r(x) musi byc funkcja stala, a poniewaz P(x)=0 dla x=1,2,3...25, to r(x)=0... zatem, szukany wielomian to P(x)=0 2)Znajdz wszystkie takie liczby naturalne n,m spelniajace rownanie: a) 2ⁿ + 1 = m² b) 2ⁿ - 1 = m² ad. a) 2ⁿ + 1 = m², Lewa strona jest zawsze nieparzysta, zatem m² jest nieparzyste czyli m jest nieparzyste, niech m=2x+1 2ⁿ + 1 = (2x+1)(2x+1) 2ⁿ + 1 = 4x² + 4x + 1 2ⁿ = 4x² + 4x 2ⁿ-1 = 2x² + 2x 2ⁿ-2 = x(x+1) Zatem, x(x+1) jest pewna potega dwojki, zauwazamy, iz jedna z tych liczb jest nieparzysta, zatem nie da sie jej zapisac przy pomocy iloczynu dwojek, zatem maxium dla x=1... tak wiec max m=3...Sprawdzmy teraz wszystkie przypadki, tzn m=1, m=2, m=3 2ⁿ+1=1 ... oczywiscie falsz bo nie ma takiego n, ze 2ⁿ=0... 2ⁿ+1=4 ... zatem 2ⁿ=3... oczywiscie falsz.. 2ⁿ+1=9 ... mamy wiec 2ⁿ=8 , czyli n=3 m=3 i jest to jedyna para spelniajaca to rownanie. b) 2ⁿ - 1 = m² Rozumujemy podobnie co w poprzednim przypadku zatem pomijam to

Jakub: Rozwiązanie pierwsze wydaje mi się dobre. Potrafisz udowodnić, że P(0)=0 P(1)=0 P(2)=0 ... P(25)=0 P(26)=0 P(27)=0 P(28)=0 itd. Tych ostatnich równań nie udowadniałeś, ale z tego co napisałeś nie jest to trudne. Czyli mamy wielomian, który dzieli się przez jednomiany x-n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną. Taki wielomian jednak nie istnieje, bo musiałby być ,,nieskończonego'' stopnia, cokolwiek to znaczy. Wielomiany są zawsze skończonego stopnia.

Jakub: Małe poprawka. Jeżeli tożsamości nie spełnia, żaden wielomian stopnia większego od 0, ponieważ musiałby się dzielić przez nieskończoną liczbę jednomianów x-n, to zostaje do sprawdzenia tylko wielomian zerowy, dla którego oczywiście zachodzi tożsamość.

Jakub: Do rozwiązania zadania 2) nic dodać się nie da. Według mnie jest ok. Tylko mała poprawka w zapisie, na którą się naciąłem przy sprawdzaniu. Powinno być: 2ⁿ = 4x²+4x 2^n-1 = 2x²+2x 2^n-2 = x(x+1)

Dariusz: Tak wiem, pomylilem w zapisie, zapomnialem klamerek dziekuje za sprawdzenie ^