Byłabym wdzięczna za pomoc. Olga: Które trójkaty wpisane w okrag o promieniu 1 maja najwieksze pole? Uzasadnic odpowiedz

pigor: ... widziałbym to tak: R=1 , z tw. sinusów a=2Rsinα, b=2Rsinβ, c=2Rsiny

	abc
i tablicowego wzoru na pole trójkąta P=		mamy :
	4R

	8R3sinα sinβ sin (180−(α+β))
P=		= 2sinαsinβsin(α+β) , a więc
	4R

P(α,β)= 2sinα*sinβ*sin(α+β) − funkcja dwóch zmiennych α,β no i co dalej, umiesz zbadać ekstremum funkcji 2−óch zmiennych , no, chyba, że wystarczy powiedzieć, że ten iloczyn sinusów będzie największy gdy suma kątów α+β=90^o , czyli gdy Δ jest prostokątny ...

PW: Elementarne rozwiązanie polegał na zauważeniu, że trójkąty o tej samej podstawie (jakaś cięciwa AB) a wierzchołku C wędrującym po okręgu mają pole zależne tylko od wysokości. Wysokość ta będzie największa, gdy C leży na symetralnej cięciwy AB − innymi słowami, gdy trójkąt jest równoramienny. Stosunek wysokości h takiego trójkąta do połowy podstawy c jest równy

	C
tg∡		.
	2

	c		C
h =		tg∡		.
	2		2

Jeżeli ∡C < 90°, to c<2R=2 (R − promień okręgu). Wraz ze wzrostem kąta rośnie jego tangens i rośnie c, osiągając maksymalną wartość 2R = 2 dla ∡C = 90°. Największe pole spośród trójkątów ostro− lub prostokątnych ma więc trójkąt prostokątny. A co będzie, gdy kąt przy wierzchołku C będzie rozwarty? Pomyśl sama.

PW: Aaaa, paskudnie pomyliłem się o trzeciej w nocy!.Pierwsze cztery linijki aktualne. Spośród trójkątów o ustalonej podstawie AB największe pole ma równoramienny. Dalej pomyliłem tangens z cotangensem, a więc reszta jest nieaktualna. Być może to już jest rozwiązanie zadania, gdyż w poleceniu użyto liczby mnogiej (które trójkąty − odpowiedź: równoramienne). Wiem, jak pokazać, który trójkąt równoramienny ma największe pole (metodami elementarnymi), ale teraz nie mam czasu − po południu napiszę. Jest to trójkąt równoboczny.

PW: Rozpatrujemy trójkąty równoramienne. Za pomocą kąta środkowego x pole P(x) trójkąta wyraża się wzorem

	1		x
(1) P(x) =		sinx + sin		, x∊(0,π>.
	2		2

Wzór wyprowadza się licząc pola trzech trójkątów o wierzchołkach w środku okręgu. Jeden z nich ma pole

	1
		R2sinx,
	2

dwa pozostałe w sumie

	x
R2sin		.
	2

Po uwzględnieniu, że R² = 1 otrzymujemy zależność (1).

	π
Na przedziale (0,		> widać bez znajomości pochodnych, że jest to funkcja rosnąca (jako
	2

suma dwóch rosnących), ale dalej tak prosto się nie da. Nie ma specjalnego zainteresowania tematem, więc powiem krótko: zbadanie tej funkcji na

	π		2π
przedziale (		,π> pokazuje, że Pmax = P(		), czyli że maksymalne pole ma trójkąt
	2		3

	π
o kącie przy wierzchołku C równym		= 60°.
	3