wykres funkcji renTa: witam, nie mam pojęcia jak to rozwiązać, proszę o pomoc: dla jakich p,q należących do rzeczywistych, wielomian x⁵ +px+q ma dokładnie trzy miejsca zerowe.

Artur_z_miasta_Neptuna: dokładnie trzy miejsca będą gdy: I) x⁵+px+q = x(x−a)²(x+b)² II) x⁵+px+q = x(x−a)(x+b)(x²+c) z tego od razu wynika, że q = .....

renTa: ooo dziekuje

renTa: a skad to wziąłeś moze tez przeciez byc tak ze: x(x−a)(x−b)(x−c)²

Dominik: taki wielomian ma 4 miejsca zerowe: 0, a, b, c.

Ajtek: Nie może być, masz jeszcze miejsce zerowe =c. Czyli 4 mz.

renTa: a tak czego nie moze byc: x(x+a)²(x−b)²

Ajtek: Przecież to jest to samo co zapisal Artur w pierwszym przypadku .

renTa: ok ale ja to rozpisalam i wyszło mi tak ze nic nie wiem do czego ja mam to porównać i jak to obliczyc jak przeciez a.b.c to tez nie wiadome

zombi: Zadanie chyba z "Matematyka dla odważnych" czyż nie?

renTa: co

renTa: wychodzi ze q=0 a p=abc tylko ze abc to tez nie wiadome

Dominik: q = x − to widac od razu

renTa: ja tego nie widze, mogłbyś mi to wytłumaczyć

renTa: móglby mi ktos to wytłumaczyc

Dominik: zeby wielomian byl podzielny przez x musi miec wyraz wolny (wartosc wspolczynnika przy potedze x⁰) rowny 0

renTa: to tak i co dalej

Dominik: q = 0, co ja plece. ale mam nadzieje, ze to zauwazylas na podstawie tego co wytlumaczylem.

Dominik: dalej co? wymnoz nawiasy i porownaj wspolczynniki.

renTa: tak tak wymnorzylam i mi wyszło ze x⁵ = x⁵ czyli 1 tak a pozniej abcx=px tylko ze abc to tez sa niewiadome

renTa: i dalej nie wiem co z tym zrobic

renTa: bo tu faktycznie po wymnozeniu q=0

renTa: hallo

pigor: ...lewa strona równania to funkcja f(x)=x⁵+px+q − potęgowa stopnia nieparzystego, a więc ma dokładnie 3 miejsca zerowe ⇔ f(0)=q ≥0 i ma dokładnie 2 ekstrema lokalne, czyli gdy pochodna f'(x)=0 ⇔ 5x⁴+p=0 ⇔ 5x⁴=−p i p< 0 ⇔ √5x²= √−p i p<0 ⇔ |x|=

	4√−p
		no i gdy zmienia znak (tak ... zmienia ), zatem warunki zadania spełniają
	√5

p<0 i q>0

pigor: ... oczywiście nie q>0 , tylko q ≥0 jak wcześniej − wyżej − w tym poście . ...

renTa: hmm... musze sie chwileczke zastanowic, i dziekuje bardzo