wielomiany Monika: Dla jakich liczb a, b, c wielomian x⁶ + ax⁴ + 10x³ + bx + c posiada pierwiastek poczwórny?

Monika:

Monika: prosze o jakieś wskazówki

Dominik: x⁶ + ax⁴ + 10x³ + bx + c = (x − p)⁴(x − s)(x − r) ∨ x⁶ + ax⁴ + 10x³ + bx + c = (x − p)⁴(x − s)²

Monika: nie da się tego inaczej zrobić?

Dominik: a nie wiem. cos jest w tym trudnego? wymnoz nawiasy i porownaj wspolczynniki.

Monika: x⁶+ax⁴+10x³+bx+c=(x⁴−4x³p+6p²x²−4xp³+p⁴)(x²−2xs+s²) x⁶+ax⁴+10x³+bx+c = x⁶−2x⁵s+x⁴s−4x⁵p+8x⁴ps−4x³ps²+6x⁴p²−12x³p²s+6p²x²s²−4x³p³+8 x²p²s−4xp³s²+x²p⁴−2xsp⁴+s⁴p⁴ x⁶+ax⁴+10x³+bx+c=x⁶+x⁵(−2s−4p)+x⁴(s+8ps+6p²)+x³(4ps²−12p²s−4p³)+x ²(6p²s²+8p²s+p⁴)+x(−4p³s²−2sp⁴)+s⁴p⁴

Dominik: pogrupuj wyrazy podobne i powylaczaj x³, x² i x przed nawias. porownaj czynniki

Monika: −2s−4p=0 s+8ps+6p²=a 4ps²−12p²s−4p³=10 6p²s²+8p²s+p⁴=b c=s⁴p⁴

	10
s=−2p=−2*3√
	36

	10		10
−2p−16p2+6p2=−10p2−2p=a=−10*(3√		)2−2*3√
	36		36

16p³+24p³−4p³=36p³=10

	10		10
p3=		p=3√
	36		36

Monika: wyszły mi dziwne wartości a=−3³√100

	3√100
b=−5+5*
	4

c=−6,25

Monika: a=−6*³√6,25 b=−12³√2,5 c=25

Monika: czy można do tego zadania użyć pochodnej?

Monika:

Monika: Wykazac, ze jesli x³+ax+b=0 równanie ma trzy pierwiastki, to a < 0.

Monika:

Monika:

Monika:

Monika:

jikA: Nie wiem czy to jest poprawne ale lepiej jakby to ktoś sprawdził i potwierdził. Niech m będzie pierwiastkiem czterokrotnym tego wielomianu wtedy W(m) = 0 ⇒ m⁶ + am⁴ + 10m³ + bm + c = 0 W'(m) = 0 ⇒ 6m⁵ + 4am³ + 30m² + b = 0 W''(m) = 0 ⇒ 30m⁴ + 12am² + 60m = 0 W'''(m) = 0 ⇒ 120m³ + 24am + 60 = 0 W^IV(m) = 0 ⇒ 360m² + 24a = 0 ⇒ a = −15m² zał. m ≠ 0 120m³ + 24 * (−15m²) * m + 60 = 0 120m³ − 360m³ + 60 = 0 −240m³ + 60 = 0

	1		1
m3 =		⇒ m =
	4		3√4

30m⁴ + 12am² + 60m = 0 m(30m³ + 12 * (−15m²) * m + 60) = 0

	1
podstawiamy m3 =		dostajemy
	4

	1		1
30 *		− 180 *		+ 60 = 0
	4		4

	75		45
−		+ 60 =		≠ 0 więc sprzeczność
	2		2

Dla m = 0 dostaniemy W(0) = 0 ⇒ c = 0 W'(0) ⇒ b = 0 W''(0) = 0 W'''(0) = 60 a więc wielomian dla m = 0 posiada pierwiastek trzykrotny. Nie istnieją takie wartości a , b oraz c aby równanie x⁶ + ax⁴ + 10x³ + bx + c = 0 miało pierwiastek potrójny

jikA: Niech wielomian ma trzy pierwiastki c , d oraz e wtedy c + d + e = 0 / ² ⇒ (c + d + e)² = 0 cd + ce + de = a / * 2 cde = −b (c + d + e)² − 2cd − 2ce −2de = −2a c² + d² + e² = −2a ⇒ a < 0.

Cusack: " cd + ce + de = a / * 2 " Skad to sie wzielo ?

jikA: Wzory Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego lub wymnożenie nawiasów (x − c)(x − d)(x − e) = x³ − (c + d + e)x² + (ce + cd + de)x − cde.

Eta: Ze wzorów Viete^'a dla równania stopnia trzeciego ax³+bx²+cx+d=0

	−b
x1+x2+x3=
	a

	c
x1*x1+x1*x3+x2*x3=
	a

	−d
x1*x2*x3=
	a

Cusack: aa, takie buty dzięki.

Eta:

Monika:

	3x2−4mx+5
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x)=
	(m+2)x4+6(m+2)x2+m2

jest zbiór liczb rzeczywistych?

Monika: