Wielomiany Michał: Rozwiąż nierówność: x⁴+x²−2≤x⁴+x³

Dominik: x³ − x² + 2 ≥ 0 W(−1) = 0

Licealista: W(x)=x³−x²+2 Zauważamy że wielomian ma całkowite współczynniki , a więc jeśli ma wymierne pierwiastki to możemy je znaleźć. W(−1)=−1−1+2=0, zatem −1 jest pierwiastkiem tego wielomianu, a więc wielomian W(x) dzieli się przez (x+1). Teraz wracamy do nierówności. x²(x+1)−2x(x+1)+2(x+1)≥0 (x+1)(x²−2x+2)≥0 Δ=−4<0 , a więc druga część iloczynu jest nierozkładalna. Rysujemy wykres i widzimy że rozwiązaniem nierówności jest x∊<−1,∞)

Dominik: "Rysujemy wykres" − Licealisto, umiesz narysowac wykres funkcji wielomianowej? ja koncze LO i musze powiedziec, ze mnie tego nie nauczyli.

Michał: Ale w odpowiedziach mam (−∞,−1>

Michał: @Dominik, masz rozszerzoną matme?

Dominik: tak. rysowac wykresu funkcji wielomianowej nie nauczysz sie w LO, bo tego nie ma w programie. to byl sarkazm. a odpowiedza jest x∊<−1, ∞). odpowiedz z podrecznika bylaby poprawna, gdyby w nierownosci, ktora zapisales bylby odwrotny znak. czyli pewnie zle przepisales nierownosc z podrecznika.

Michał: No to muszę cie zdziwić bo ja jestem w 2 LO i mam rysowanie funkci wielomianowej

Dominik: o ile wiem do narysowania takiego wykresu potrzebne sa pochodne, ktorych w programie nie ma. najprawdopodobniej myslisz wykres z reprezentacja graficzna siatki znakow.

Licealista: Dominik, po części masz rację. Wykres funkcji wielomianowej rysuje się komputerowo (komputer podstawia kilka tysięcy punktów i oblicza dla nich wartości). Jednak przy rozwiązywaniu nierówności wielomianowej rysuje się przybliżony wykres funkcji. Jest on na tyle dokładny, ze pozwala określić znak funkcji, co wystarcza do rozwiązania nierówności. Sam jestem w 2 klasie liceum, co prawda jeszcze nie mieliśmy wielomianów, ale wiem że tak się robi

Dominik: bzdury

Dominik: jesli myslicie ze wykres funkcji to po prostu machniecie fali przechodzacej przez miejsca zerowe to jestescie grubo w bledzie

Michał: To jeszcze miałbym 1 zd. do rozwiązanie Wielomian W(x)=x³−(a+b)x²−(a−b)x+3 jest podzielny przez wielomian P(x)=x²−4x+3 a)Oblicz a i b

Licealista: Podziel W(x) przez P(x), wyjdzie Ci reszta postaci R(x)=mx+n i ta reszta R(x)=0 (, bo P(x)|W(x))

Dominik: P(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) W(1) = 0 W(3) = 0 uklad rownan i do roboty

Michał: Wszystko ładnie wyszło, dzięki Dominik

Dominik: musialo. wiesz skad to sie wzielo?

Dominik: moze od razu napisze. jesli jakas liczba ma byc podzielna przez a * b to musi byc podzielna i przez a, i przez b. dalej to juz tylko zastosowanie twierdzenie bezout.

Michał: Tak jeżeli (x−a)|W(x) to W(a)=0, a gdy ma się więcej miejsc zerowych można je przemnożyć, żeby ułatwić dzielenie.Ale działa to też w odwrotną stronę, gdy potrzebujemy miejsc zerowych, wtedy te P(x) można rozbić.