Udowodnij, że dana nierówność jest prawdziwa Nikodem: Udowodnij, że jeżeli a > b > 0, to prawdziwa jest nierówność a³ − b³ < 3a²(a − b) Doszedłem do postaci (a−b)³ − b²(3a−2b)>0 i szczerze mówiąc nie mam pojęcia, co dalej zrobić. Wielkie dzięki za pomoc

PW: A może po lewej wzór a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²), podzielić przez (a−b)>0 (takie są założenia) i udowodnić równoważną łatwiejszą nierówność?

Saizou : załóżmy że teza jest fałszywa, zatem a³−b³>3a²(a−b) (a−b)(a²+ab+b²)>3a²(a−b) (a−b)(a²+ab+b²)−3a²(a−b)>0 (a−b)(−2a²+ab+b²)>0 (a−b)(−2a²−ab+2ab+b²)>0 (a−b)[−a(2a+b)+b(2a+b)]>0 (a−b)(2a+b)(−a+b)>0 niebieskie jest dodatnie z założenia czerwone jest ujemne z założenia zatem ich iloczyn jest ujemny, wówczas mamy sprzeczność i dowód jest prawdziwy

Nikodem: @PW Właśnie takim dzieleniem doszedłem do tej postaci, którą wcześniej podałem. @Saizou Dziękuję pięknie! W złym kierunku liczyłem, a rozwiązanie było prawie pod nosem