Poprawność założeń Cusack: Jeżeli chcę żeby równanie kwadratowe miało dwa różne nieujemne pierwiastki, z którch jeden jest równy 0, to czy takie założenia będą poprawne?

⎧	Δ>0
⎨	x1+x2>0
⎩	x1x2=0

Dominik: jeszcze a > 0, poza tym OK

Dominik: tfu, a ≠ 0

Cusack: ok, no bo trafiłem na takie zadanko: Dla jakich wartości parametru m równanie x⁵+(1−2m)x³+(m²−1)x=0 ma 3 różne pierwiastki? Przekształciłem do: x(x⁴+(1−2m)x²+(m²−1))=0 czyli x=0 lub x⁴+(1−2m)x²+m²−1=0 zmienna pomocnicza t=x² , t≥0 t²+(1−2m)t+m²−1=0 Dałem warunki jak wyżej, ale się nie zgadza. Bo jak zapewnić inaczej żeby to równanie miało 3 różne pierwiastki?

elo320: No wyciągasz x przed nawias masz już x₁ = 0, więc pozostają ci jeszcze 2 różne. Będzie tak wtedy, gdy Δ > 0 a > 0 Masz napisane 2 różne pierwiastki ,więc nie interesuje cię czy to jest 2, −3, czy 2, 3 czy −2, −3 mają być po prostu różne a tak jest wtedy gdy Δ > 0

Cusack: no chyba nie, bo np. jeżeli wyjdą Ci dwa dodatnie pierwiastki t, to początkowe równanie będzie ich miało aż 5, bo t=x²

Dominik: dlatego t moze miec tylko jeden pierwiastek dodatni. t₁t₂ > 0

Cusack: no właśnie tutaj mam problem. bo jeżeli t=x², to czy drugi pierwiastek t może być ujemny?

Dominik: jak najbardziej moze. z tym ze bedzie sprzeczny z narzuconymi zalozeniami − pozostanie tylko dodatni. czyli bedziemy mieli x₁ = 0, x₂ = √t, x₃ = −√t. 3 rozne pierwiastki.

Dominik: t₁t₂ < 0 oczywiscie

Cusack: ok, dzięki

Cusack: Jeszcze mnie coś nurtuje. Załóżmy, że mam zadanie tego typu, też wyznaczyć liczbę rozwiązań (nieistotne ile) i muszę podstawić zmienną t=√x Dochodzę do wniosku że pierwiastki muszą być przeciwnych znaków. Zatem jedno z t<0, wtedy √x<0, czyli sprzeczność? Takie założenie będzie ok, z tym że jak wyżej w przypadku t=x² sprzeczne z narzuconymi założeniami, czy wgl nie mogę dać takiego założenia?

Dominik: jesli t = √x to t ≥ 0, bo pierwiastek drugiego stopnia dowolnej liczby nieujemnej jest liczba nieujemna. czyli t < 0 jest sprzeczne z zalozeniem

Cusack: Muszę się upewnić Jest sprzeczne z założeniem, tzn że mogę tak założyć i wtedy (totalnie przykładowo) pozostanie mi dodatni pierwiastek, czy nie mogę tak założyć?

Cusack: ?

Dominik: musisz tak zalozyc. √x nie moze byc ujemny, a jesli uwazasz inaczej to znajdz mi taki x dla ktorego √x < 0

Cusack: Ja wiem że √x nie może byc ujemny. Tylko chyba nie do końca się rozumiemy W pierwszym zadaniu była wprowadzona zmienna t=x² I nie wiedziałem czy mogę dać takie założenie że pierwiastki są przeciwnych znaków (skoro jeden z pierwiastków t jest ujemny to wychodziłoby na to ze t=x² < 0, co jest niemożliwe) Ale uświadomiłeś mnie że takie założenie jest OK, tylko będzie sprzeczne z narzuconymi założeniami, a co za tym idzie pozostaną tylko dodatnie pierwiastki. Chodzi mi o takie samo uświadomienie co do t=√x

Dominik: to jest dokladnie taki sam przypadek. wtedy zostanie ci tylko jeden pierwiastek t nieujemny, czyli t = √x − bedzie jeden pierwiastek x

Cusack: o to mi chodziło − dzięki

b.: > Bo jak zapewnić inaczej żeby to równanie miało 3 różne pierwiastki? A no właśnie, są jeszcze inne możliwości, które pominąłeś: 1) t₁<0, t₂ >0 −− wtedy dostaniesz 3 pierwiastki x (temu ujemnemu t₁ nie będą odpowiadały żadne rzeczywiste rozwiązania w zmiennej x) 2) Δ=0 i pierwiastki różne od 0, czyli np. x₁x₂≠0 −− wtedy równanie kwadratowe z t będzie miało jeden pierwiastek podwójny, co da nam 3 różne pierwiastki dla początkowego równania

Dominik: 1 przypadek to jest ten, o ktorym napisalem. t_1t2 < 0= ⇔ (t₁ < 0 ∧ t₂ > 0) o 2 rzeczywiscie zapomnialem, sluszna uwaga.

Dominik: t₁t₂ < 0 ⇔ (t₁ < 0 ∧ t₂ > 0)

Cusack: "2) Δ=0 i pierwiastki różne od 0" Nie kminie. Jeżeli dam Δ=0 to dostaje jeden pierwiastek t (który chyba może wyjść ujemny i wtedy go odrzucę) i nie dostanę 3 rozwiązań. Przykładowo jeżeli t=4, pierwiastki początkowego równania to x=2, x=−2, x=0 Jeżeli t= −4 to zostaje tylko jeden pierwiastek x=0. Gdzie jest błąd w moim myśleniu?

Dominik: Δ = 0 x_w > 0 (wspolrzedna x wierzcholka) wtedy t bedzie dodatnie ⇒ bedzie x₁ = 0, x₂ = √t x₃ = −√t

Cusack: no tak Dzięki jeszcze raz.

b.: zamiast 2) Δ=0 i pierwiastki różne od 0 lepiej było napisać 2) Δ=0 i pierwiastek podwójny różny od 0