Układy równań liniowych fdsa: Co należy założyć o liczbach rzeczywistych α i β, aby zagwarantować, że układ równań liniowych o niewiadomych x₁, x₂ i x₃: x₁+x₂+x₃=a₁ x₁+αx₂+α²x₃=a₂ x₁+βx₂+β²x₃=a₃ będzie układem oznaczonym dla dowolnych liczb rzeczywistych a₁, a₂ i a₃?

fdsa: Trzeba założyć, że α≠β, α≠1 i β≠1, a dla a₁=a₂=a₃=0 α,β∊R? Po zgaussowaniu tej macierzy żeby rząd macierzy wynosił 3 powinny być właśnie takie założenia. Wszystko się zgadza?

fdsa: zgaussowaniu czy sprowadzeniu do postaci schodkowej jak kto woli żebyście się nie czepiali słówek

Godzio: x₁ + x₂ + x₃ = 1 x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 2 x₁ + 3x₂ + 3x₃ = 3 (2) − 2(1) : − x₁ = 0 ⇒ x₁ = 0 x₂ = 1 − x₃ x₃ ∊ R Układ nieoznaczony, a warunki są spełnione, więc ?

Krzysiek: Godzio, α=2 więc α² =2 ?

Godzio: A, tam jest "α²" i "β²" Zlało się

Godzio: Podam nieco inny sposób, zauważmy, że macierz: 1 1 1 1 α α² 1 β β² musi być mieć niezerowy wyznacznik, a jego prosto policzymy, (α − 1)(β² − 1) − (α² − 1)(β − 1) = (α − 1)(β − 1)(β + 1 − α − 1) ≠ 0 ⇔ α ≠ 1 i β ≠ 1 i α ≠ β

fdsa: Tak też chciałem policzyć wyznacznik, lecz wyznaczników nie było jeszcze na wykładzie, a na ćwiczeniach normalnie gaussowaliśmy ale mój sposób jest dobry?

Godzio: Dobry, jeżeli nie mieliście jeszcze wyznaczników, to postać schodkowa jest jak najbardziej odpowiednia

fdsa: Ok, już wiem. Jest dobry jest. Uff

fdsa: To sprawdźmy, czy następne zadanie zrobiłem dobrze. Wyznaczyć wymiar i podać bazę dla podprzestrzeni U₁∩U₂, jeżeli U₁={(x,y,z,t)∊R⁴:x−t=0 i z−y=0} U₂={(x,y,z,t)∊R⁴:x+y=0 i z+t=0} dim U₁=2 dim U₂=2 Ale są tylko 3 z tych czterech wektorów niezależne. Więc obie płaszczyzny mają wspólny 1 wektor? Czyli częścią wspólną jest ten wektor, który tworzy podprzestrzeń o wymiarze 1 i ten wektor jest bazą dla U₁∩U₂?

fdsa: Oczywiście z czterech wektorów, które generują U₁ i U₂

Godzio: B_U1 = lin{ (1,0,0,1), (0,1,1,0) } B_U2 = lin{ (1,−1,0,0), (0,0,1,−1) } I teraz formalnie wypadało by: a(1,0,0,1) + b(0,1,1,0) = c(1,−1,0,0) + d(0,0,1,−1) a = c b = − c b = d a = −d a = c = − b = − d B_{U1 ∩ U2} = lin{ (1,1,−1,−1) }

Godzio: Ale dobrze rozumujesz

fdsa: A co jeśli napisałem a=c b=−c d=−c c∊R i stąd wywnioskowałem, że ten trzeci wektor jest liniowo zależny od pozostałych? I niestety jako bazę dałem ten jeden wektor liniowo zależny czyli (1,−1,0,0) o ile dobrze pamiętam

fdsa: Ogólnie układ równań rozwiązałem chyba dobrze, wynika z niego, że 1 wektor jest liniowo zależny. Tylko tę bazę źle wyznaczyłem.

potrzebujaca wiedzy: ucze sie o podprzestrzeniach i zobaczylam zadanko, moglby ktos mi wytlumaczyc jak godzio obliczyl baze bo tego nie rozumiem:(