PW: Masz rację, w dodatku w trakcie pisania zmieniłem koncepcję i po prawej stronie zamiast x
1,y
1
itd. na pisałem "x, y, z", więc wzór może być niezrozumiały. A skąd wziąłeś zadanie? Na pewno
da się rozwiązać elementarnie, myślałem żeś student. Pomyślę, dowód będzie polegał zapewne na
przeprowadzeniu rozumowania takiego samego jak w dowodzie tw. Cauchy'ego−Buniakowskiego z
ograniczeniem do trzech liczb (bo twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby składników.
Dowód.
(0) (a
12+a
22+a
32)x
2+2(a
1b
1+a
2b
2+a
3b
3)x +(b
12+b
22+b
32) =
= (a
1x+b
1)
2+(a
2x+b
2)
2+(a
3x+b
3)
2
Jest to zwykłe równanie kwadratowe, w którym współczynniki przy x
2 i przy x oraz "wyraz
wolny" są dobrane specjalnie (i na tym polegał geniusz autorów). Równanie to jest
tożsamościowe (lewa i prawa strona są równe dla każdego x). Funkcja kwadratowa po prawej
stronie nie ma miejsc zerowych albo ma tylko jedno (bo jest sumą kwadratów). Tyma samym
funkcja kwadratowa po lewej stronie też nie ma miejsc zerowych albo ma tylko jedno, a więc jej
wyróżnik Δ jest niedodatni.
Δ≤0 ⇔ 4(a
1b
1+a
2b
2+a
3b
3)
2 − 4(a
12+a
22+a
32)(b
12+b
22+b
32) ≤ 0 ⇔
(1) (a
1b
1+a
2b
2+a
3b
3)
2 ≤ (a
12+a
22+a
32)(b
12+b
22+b
32).
To jest "ogólny" dowód nierówności Cauchy'ego−Buniakowskiego dla trzech składników przy
założeniu, że a
12+a
22+a
32>0 (gdyby ta suma była zerem, to nie byłoby równania
kwadratowego, ale nierówność jest spełniona − "zachodzi wtedy równość").
W nierówności (1) wystarczy teraz podstawić
a
1=a
32, a
2=b
32, a
3=c
32
oraz
| | 1 | | 1 | | 1 | |
b1=( |
| )12, b2=( |
| )12, b3=( |
| )12, |
| | a | | b | | c | |
żeby dostać Twoją nierówność.
Zacząłem "z grubej rury", więc dokończyłem. Teraz weź te Twoje liczby, podstaw je do (0) i
odkryj dowód szczególnego przypadku − tylko dla tego zadania − wszystko będzie wyglądało o
wiele przyjemniej. Zamiast potęg ułamkowych można pisać pierwiastki.
